三角形ABC中三遍abc三角ABC求证pi/3<(aA+bB+cC)/(a+b+c)<pi/2

三角形ABC中三遍abc三角ABC求证pi/3<(aA+bB+cC)/(a+b+c)<pi/2

aA+bB+cC=aπ-aB-aC+bπ-bA-bC+cπ-cA-cB
=π(a+b+c)-[A(b+c)+B(a+c)+C(a+b)
aA+bB+cC+[A(b+c)+B(a+c)+C(a+b)=π(a+b+c)
b+c>a a+c>b a+b>c A(b+c)+B(a+c)+C(a+b)>aA+bB+cC
π(a+b+c)>2(aA+bB+cC)
(aA+bB+cC)/(a+b+c)<π/2
aA+bB+cC=a(π-A-B)+bB+cC=πa+B(b-a)+C(c-a)
b-a>c c-a>b
aA+bB+cC>πa+cB+bC>πa
同理aA+bB+cC>πb
同理aA+bB+cC>πc
3(aA+bB+cC)>π(a+b+c)
(aA+bB+cC)/(a+b+c)>π/3

根据三角形两边之和大于第三边，aA<(b+c)A,bB<(a+c)B,cC<(a+b)C,则有
(aA+bB+cC)/(a+b+c)<[ (b+c)A+ (a+c)B+ (a+b)C ]/(a+b+c), 亦即
(aA+bB+cC)/(a+b+c)<[ a(B+C)+b(A+C)+c(A+B) ]/(a+b+c)，也就是说，
(aA+bB+cC)/(a+b+c)<[ a(π-A) +b(π-B) +c(π-C) ])/(a+b+c),化简得
2(aA+bB+cC)/(a+b+c）<π，得到(aA+bB+cC)/(a+b+c)<π/2
另外一部分，用三角形两边之差小于第三边同理就能得到