设f（x）在[0，+∞）上连续且单调减少，试证明对任何b＞a＞0，皆有：∫baxf（x）dx≤12[b∫b0f（x）dx-a

设f（x）在[0，+∞）上连续且单调减少，试证明对任何b＞a＞0，皆有：∫baxf（x）dx≤12[b∫b0f（x）dx-a∫a0f（x）dx]．

令F(u)＝
∫ u
a
xf(x)dx?
1
2 [u
∫ u
0
f(x)dx?a
∫ a
0
f(x)dx]（a＞0），
则由f（x）在[0，+∞）上的连续性可得，
F（u）在[0，+∞）上可导．
对F（u）求导可得：
当u＞0时，F′(u)＝uf(u)?
1
2
∫ u
0
f(x)dx?
1
2 uf(u)=
1
2 uf(u)?
1
2
∫ u
0
f(x)dx=
1
2 {
∫ u
0
[f(u)?f(x)]dx}．
因为f（x）在[0，+∞）上单调减少，
所以，当u＞x时，f（u）-f（x）≤0，
所以，F′(u)＝
1
2 {
∫ u
0
[f(u)?f(x)]dx}≤0
从而，F（u）在[0，+∞）上是单调减少的，
于是当b＞a＞0时，有：
F（b）≤F（a）=0，
即：
∫ b
a
xf(x)dx≤
1
2 [b
∫ b
0
f(x)dx?a
∫ a
0
f(x)dx]．

设f(x)＝x ∫ x 0 f(t)dt，x＞0， 则： b ∫ b 0 f(x)dx+a ∫ a 0 f(x)dx＝f(b)?f(a)＝ ∫ b a f′(x)dx = ∫ b a [ ∫ x 0 f(t)dt+xf(x)]dx＝ ∫ b a [xf(x)? ∫ x 0 tf′(t)dt+xf(x)]dx ≤ ∫ b a [xf(x)+xf(x)]dx＝2 ∫ b a xf(x)dx 所以：m＝ ∫ b a xf(x)dx≥ 1 2 [b ∫ b 0 f(x)dx+a ∫ a 0 f(x)dx]＝n 故选：a．