初二数学题（全等三角形）

如图，△ABC中D是BC的中点，∠AOB、∠ADC的角平分线分别交AB、AC与点E、F，连接EF。求EF＜BE+CF

证明：延长FD到点G，使DG=DF；连接GB、GE
∵∠ADB、∠ADC的平分线分别与AB、AC交于EF
∴∠EDF=∠EDA+∠FDA=1/2∠BDA+1/2∠CDA=1/2×180=90
∴ED垂直平分GF
∴EF=EG
在△BDG和△CDF中
BD=CD, ∠BDG=∠CDF, DG=DF
∴△BDG≌△CDF(SAS)
∴BG=CF
∵在△BEG中,BE+BG＞GE
∴EF＜BE+CF

此题要辅助线，在AD上做一点E，使GD=CD，因为D为中点，BD=CD，又三角形全等(BED和GED，CFD和GFD)，所以CF=FG，BE=EG，EGB所围成三角形，由性质，两边之和大于第三边。所以EF小于BE+CF

如图，延长ED到G，使得DG=BE,易证三角形BED 全等于三角形DGC

所以BE=CG

角ADB加角ADC =180°

两边都除以2，等到角EDF是90°

D为EG中点，所以DF垂直平分EG，所以EF=FG

在三角形FCG中，两边和大于第三边

所以FG<FC+CG

故 EF<FC+BE