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已知:如图,△ABC中,AB=AC,AD和BE是高,它们相交于点H,且HE=CE.求证:AH=2BD.

答案:2  悬赏:80  手机版
解决时间 2021-12-31 03:56
已知:如图,△ABC中,AB=AC,AD和BE是高,它们相交于点H,且HE=CE.
求证:AH=2BD.
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证明:∵AB=AC,AD是高,
∴BC=2BD.
∵AD、BE是高,
∴∠ADC=90°,∠AEH=∠BEC=90°.
∴∠HAE+∠C=90°,∠CBE+∠C=90°.
∴∠HAE=∠CBE.
在△AHE和△BCE中,
∠HAE=∠CBE,∠AEH=∠BEC,HE=CE,
∴△AHE≌△BCE(AAS).
∴AH=BC.
又∵BC=2BD,
∴AH=2BD.解析分析:我们发现,BC=2BD因此只要证明AH=BC就可以了,那么关键就是证明三角形AHE和BCE全等来得出结论.已知的条件有:EC=EH,一组直角,只要再证得一组对应角相等即可得出结论,我们不难发现∠EAH和∠EBC都是∠C的余角,因此这两个角就相等,那么就凑齐了两三角形全等的所有条件,两三角形就全等了.由此可得出AH=BC=2BD.点评:本题综合考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定,通过三角形的全等来得出简单的线段相等是解题的关键.
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