F（x)的2阶导数存在。 F（0）=F（1） 证明在（0，1）存在a使得2倍的F（a)的一阶导数等于（1-a)*F（a)的2阶导数

F（x)的2阶导数存在。 F（0）=F（1） 证明在（0，1）存在a使得2倍的F（a)的一阶导数等于（1-a)*F（a)的2阶导数

F''(x)
F(0）=F(1）

2F'(a)=(1-a)F''(a) (0,1)


∵F(0）=F(1）
根据罗尔中值定理，在(0，1)之间至少存在一点ξ，使得F'(ξ)=0。
令：G(x)=(1-x)F'(x)，则G'(x)=(1-x)F''(x)-F'(x)
∵G(1)=F'(1)(1-1)=0；G(ξ)=F'(ξ)(1-ξ)=0，
∴由罗尔中值定理可知，在(ξ，1)之间至少存在一点a，使得G'(a)=0。
即：G'(a)=(1-a)F''(a)-F'(a)=0，
亦即：F'(a)=(1-a)F''(a)。