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附加题:已知(x+1)n=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+…+an(x-1)n,(其中n∈N*)Sn=a1+a2+a3+…+an.(1)求S

答案:2  悬赏:70  手机版
解决时间 2021-03-22 12:55
附加题:已知(x+1)n=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+…+an(x-1)n,(其中n∈N*)Sn=a1+a2+a3+…+an.
(1)求Sn;
(2)求证:当n≥4时,Sn>(n-2)2n+2n2.
最佳答案
解:(1)取x=1,则a0=2n;
取x=2,则a0+a1+a2+a3+…+an=3n,
∴Sn=a1+a2+a3+…+an=3n-2n;?????????(4分)
(2)要证Sn>(n-2)2n+2n2,只需证3n>(n-1)2n+2n2,
①当n=4时,81>80;
②假设当n=k(k≥4)时,结论成立,即3k>(k-1)2k+2k2,
两边同乘以3?得:3k+1>3[(k-1)2k+2k2]=k2k+1+2(k+1)2+[(k-3)2k+4k2-4k-2]
而(k-3)2k+4k2-4k-2=(k-3)2k+4(k2-k-2)+6=(k-3)2k+4(k-2)(k+1)+6>0
∴3k+1>((k+1)-1)2k+1+2(k+1)2,
即n=k+1时结论也成立,
由①②可知,当n≥4时,3n>(n-1)2n+2n2成立.
综上原不等式获证.(10分)解析分析:(1)由于与二项式有关,故可采用赋值法.取x=1,则a0=2n;取x=2,则a0+a1+a2+a3+…+an=3n,从而可求Sn;(2)要证Sn>(n-2)2n+2n2,只需证3n>(n-1)2n+2n2,再利用数学归纳法加以证明.点评:本题以二项式为载体,考查赋值法的运用,考查数学归纳法,解题的关键是先分析转化,再利用数学归纳法证明.
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