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如何推导1的平方+2的平方+3的平方...+n的平方等于什么?

答案:2  悬赏:60  手机版
解决时间 2021-03-01 20:12
如何推导1的平方+2的平方+3的平方...+n的平方等于什么?
最佳答案
利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3=2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 .n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n 各等式全相加 n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n) n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n) n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1 n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2 3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1) =(n/2)(n+1)(2n+1) 1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6======以下答案可供参考======供参考答案1:2^3-1^3=(2-1)(2^2+2*1+1^2)=2^2+2*1+1^23^3-2^3=3^2+3*2+2^2......n^3-(n-1)^3=n^2+n(n-1)+(n-1)^2两边全部加起来n^3-1=3(1平方+2平方+...+n平方)-n^2-1-(1+2+..+n)把这个等式整理完了就可以了 1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6供参考答案2:利用相等关系 n^2=n(n+1)-n1^2+2^2+……n^2=1*2-1+2*3-2+....+n(n+1)-n =1*2+2*3+...+n(n+1)-(1+2+...+n)又由于n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3 所以1*2+2*3+...+n(n+1) =[1*2*3-0+2*3*4-1*2*3+....+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3=[n(n+1)(n+2)]/3所以原式=[n(n+1)(n+2)]/3-[n(n+1)]/2=n(n+1)(2n+1)/6
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