导数 y=a^x导数证明中的步骤?

导数 y=a^x导数证明中的步骤?
y=a^x,
Δy=a^(x+Δx)-a^x=a^x(a^Δx-1)
Δy/Δx=a^x(a^Δx-1)/Δx
如果直接令Δx→0,是不能导出导函数的,必须设一个辅助的函数β=a^Δx-1通过换元进行计算.由设的辅助函数可以知道：Δx=loga(1+β).
所以(a^Δx-1)/Δx=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β
显然,当Δx→0时,β也是趋向于0的.而limβ→0时,(1+β)^1/β=e,所以limβ→0时,1/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna.
把这个结果代入limΔx→0时,Δy/Δx=limΔx→0时,a^x(a^Δx-1)/Δx后得到limΔx→0Δy/Δx=a^xlna.
可以知道,当a=e时有y=e^x y'=e^x.
以上是证明y=a^x的导数的有关过程
请问 (a^Δx-1)/Δx=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β是什么意思 还有为什么limβ→0时,(1+β)^1/β=e,

(a^Δx-1)/Δx=β/loga(1+β)=1/loga[(1+β)^(1/β)]
β→0时,lim ln[(1+β)^1/β]=lim [ln(1+β)/β]=lim [ln(1+β)]'/(β)'=lim1/(1+β)=1,
所以β→0时,lim [(1+β)^(1/β)]=e,
其实如果可用(ln x)'=1/x,则y=a^x,lny=xlna,(lny)'=y'/y=(xlna)'=lna,所以y'=ylna=lna*a^x