求:是否存在常数c,使得不等式x/(2x+y)+y/(x+2y)<或=c<或=x/(x+2y)+y/(2x+y)对于任意正数x,y恒成立？证明结论．

求:是否存在常数c,使得不等式x/(2x+y)+y/(x+2y)<或=c<或=x/(x+2y)+y/(2x+y)对于任意正数x,y恒成立？证明结论．

答：存在。解释如下：

假设题设成立，则x/(2x+y)+y/(x+2y)≤x/(x+2y)+y/(2x+y)

试将这不等式求出来

[x(x+2y)+y(2x+y)]/[(2x+y)(x+2y)]≤[x(2x+y)+y(x+2y)]/[(2x+y)(x+2y)]

由于题目说x，y是正数，所以可以直接去掉上式的分母，得

x(x+2y)+y(2x+y)≤x(2x+y)+y(x+2y)

  x²+2xy+2xy+y²≤2x²+xy+xy+2y²

    x²-2xy+y²≥0

    (x-y)²≥0

此不等式成立，因此存在。

谢谢采纳

  x/(2x+y)+y/(x+2y)-x/(x+2y)+y/(2x+y)

=    (x-y)(x+2y-2x-y)

  ---------------------------

    (2x+y)(x+2y)

=    - (x-y)^2

   -----------------

    (2x+y)(x+2y)

对于任意正数x,y，此式恒<或=0

即：x/(2x+y)+y/(x+2y)<或=x/(x+2y)+y/(2x+y)恒成立