如图，已知：在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，PA⊥底面ABCD，PA=PB =2，E 和F分别是AB与PD的中点。（1）求证：PC⊥BD（2）求证：AF//平面PEC（3）求二面角P-EC-D的大

如图，已知：在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，PA⊥底面ABCD，PA=PB =2，E 和F分别是AB与PD的中点。（1）求证：PC⊥BD（2）求证：AF//平面PEC（3）求二面角P-EC-D的大小

图呢？

解：（I）连接AC，则AC⊥BD． ∵PA⊥平面ABCD，AC是斜线， PC在平面ABCD上的射影， ∴由三垂线定理得PC⊥BD． （II）取PC的中点K，连接FK、EK， 则四边形AEKF是平行四边形， ∴AF∥EK，又EK⊂平面PEC， AF⊄平面PEC， ∴AF∥平面PEC． （III）延长DA、CE交于M，过A作AH⊥CM于H， 连接PH，由于PA⊥平面ABCD，可得PH⊥CM． ∴∠PHA为所求二面角P-EC-D的平面角． ∵E为AB的中点，AE∥CD，∴AM=AD=2． 在△AME中，∠MAE=120°， 由余弦定理得EM²=AM²+AE²-2AM•AEcos120°=7， ∴EM=

7

，又S△AEM=

1

2

AH•AE•sin120°， ∴AH=

3

7

， ∴tanPHA=

PA

AH

=

2 21

3

． ∴二面角P-EC-D的大小为arctan

2 21

3