已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=0，an+1-Sn=n．（Ⅰ） 求证：数列{an+1}是等比数列，并求数列{an}的通项

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=0，an+1-Sn=n．
（Ⅰ） 求证：数列{an+1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ） 设数列{bn}的前n项和为Tn，b1=1，点（Tn+1，Tn）在直线
x
n+1 ?
y
n ＝
1
2 上，在（Ⅰ）的条件下，若不等式
b1
a1+1 +
b2
a2+1 +…+
bn
an+1 ≤t2?3t对于n∈N*恒成立，求实数t的取值范围．

（Ⅰ）由an+1-Sn=n，得an-Sn-1=n-1（n≥2），
两式相减得an+1-an-（Sn-Sn-1）=1，即an+1=2an+1，
所以an+1+1=2（an+1）（n≥2），
又a1=0，a2=1，则a2+1=2（a1+1），所以an+1+1=2（an+1）对任意n∈N*成立，
所以数列{an+1}是以a1+1=1为首项，2为公比的等比数列．
所以，数列{an}的通项公式an＝2n?1?1．
（Ⅱ）因为点（Tn+1，Tn）在直线
x
n+1 ?
y
n ＝
1
2 上，所以
Tn+1
n+1 ?
Tn
n ＝
1
2 ，故{
Tn
n }是以
T1
1 ＝1为首项，
1
2 为公差的等差数列，则
Tn
n ＝1+
1
2 (n?1)，所以Tn＝
n(n+1)
2 ，
当n≥2时，bn＝Tn?Tn?1＝
n(n+1)
2 ?
(n?1)n
2 ＝n，b1=1满足该式，所以bn=n．
不等式
b1
a1+1 +
b2
a2+1 +…+
bn
an+1 ≤t2?3t，即为1+
2
2 +
3
22 +…+
n
2n?1 ≤t2?3t，
令Rn＝1+
2
2 +
3
22 +…+
n
2n?1 ，则
1
2 Rn＝
1
2 +
2
22 +
3
23 +…+
n
2n ，两式相减得(1?
1
2 )Rn＝1+
1
2 +
1
22 +
1
23 +…+
1
2n?1 ?
n
2n ＝2?
n+2
2n ，所以Rn＝4?
n+2
2n?1 ．
所以Rn＝4?
n+2
2n?1 ＜4．
由Rn≤t2?3t恒成立，即t2-3t≥4，解得t≤-1或t≥4．

an+1=-sn+1*sn s(n+1) - sn = -s(n+1)sn ==> 1/s(n+1) - 1/sn = 1 1/s1 = 1 所以 {1/sn} 是公差为1的等差数列， 1/sn = n ===> sn = 1/n, 对于 n >= 2, an = sn - s(n-1) = 1/n - 1/(n-1) = -1/(n(n-1))