三角形五心性质总结

三角形五心性质总结

三角形的五心性质

内心是三条角平分线的交点，它到三边的距离相等。
外心是三条边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。
重心是三条中线的交点，它到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。
垂心是三条高的交点，它能构成很多直角三角形相似。
旁心是一个内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点，它到三边的距离相等。

（1）重心和三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；
（2）外心到三顶点的距离相等；
（3）垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点构成的三角形的垂心；
（4）内心、旁心到三边距离相等；
（5）垂心是三垂足构成的三角形的内心；
（6）外心是中点三角形的垂心；
（7）中心也是中点三角形的重心；
（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心。
三角形的五心定理
重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍，该点叫做三角形的重心。
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点，该点叫做三角形的外心。
垂心定理：三角形的三条高交于一点，该点叫做三角形的垂心。
内心定理：三角形的三内角平分线交于一点，该点叫做三角形的内心。
旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。
重心的几条性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（z1+z2+z3）/3
5、三角形内到三边距离之积最大的点。 线段的重心 线段的重心就是线段的中点 平行四边形的重心 平行四边形的重心就是它两条对角线的交点
三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心，它们都是三角形的重要相关点。
三角形内心的性质　　设⊿ABC的内切圆为☉I(r)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2． 　　1、三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心． 　　2、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r． 　　3、r=S/p． 　　4、在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2． 　　5、∠BIC=90°+A/2． 　　6、点O是平面ABC上任意一点，点I是⊿ABC内心的充要条件是： 　　a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0． 　　7、点O是平面ABC上任意一点，点I是⊿ABC内心的充要条件是： 　　向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)． 　　8、⊿ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么⊿ABC内心I的坐标是： 　　(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c))． 　　9、(欧拉定理)⊿ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI^2=R^2-2Rr． 　　10、（内角平分线分三边长度关系） 　　⊿ABC中，0为内心，∠A 、∠B、 ∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，　则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.
上述的几个结论早在欧几里得时代均已被人发现，欧几里得除垂心定理外，均把它们作为重要定理收集在自己的《几何原本》里。
三角形外心的性质　　设⊿ABC的外接圆为☉G(R)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2． 　　1、三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心. 　　2、锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合. 　　3、GA=GB=GC=R. 　　3、∠BGC=2∠A，或∠BGC=2(180°-∠A). 　　4、R=abc/4S⊿ABC. 　　5、点G是平面ABC上一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件是： 　　(向量GA+向量GB)·向量AB= (向量GB+向量GC)·向量BC=(向量GC+向量GA)·向量CA=向量0. 　　6、点G是平面ABC上一点，点P是平面ABC上任意一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件是： 　　向量PG=((tanB+tanC)向量PA+(tanC+tanA)向量PB+(tanA+tanB)向量PC)/2(tanA+tanB+tanC). 　　7、点G是平面ABC上一点，点P是平面ABC上任意一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件是： 　　向量PG=(cosA/2sinBsinC)向量PA+(cosB/2sinCsinA)向量PB+(cosC/2sinAsinB)向量PC. 　　8、设d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。 　　重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。