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求证任意7个实数中必存在两个实数x,y,满足0<=(x-y)/(1+xy)<√3/3

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解决时间 2021-08-11 10:08
求证任意7个实数中必存在两个实数x,y,满足0<=(x-y)/(1+xy)<√3/3
最佳答案

由于函数y=tanx   (-π/2<x<π/2)   上的值域为R


不妨设这7个数为 tanx1,tanx2,...,tanx7


对应-π/2=<x1=<x2=<...=<x7<π/2


于是根据抽屉原理,必存在xi和xj  (i>j,且i,j取自1,2...,7)


使得0=<xi-xj<π/6(=<为“小于等于”)


于是,0=<tan(xi-xj)=(tanxi-tanxj)/(1+tanxi*tanxj)=(yi-yj)/(1+yi*yj)<√3/3


得证,关键那个表达形式很容易让人想到正切函数


全部回答
若任给7个实数中有某两个相等,结论显然成立.若7个实数互不相等,则难以下手.但仔细观察可发现:与两角差的正切公式在结构上极为相似,故可选后者为类比物,并通过适当的代换将其转化为类比问题.作代换:xk=tgαk(k =l,2,…,7),证明必存在αi,αj,满足不等式0≤tg(αi-αj)≤·证明:令xk=tgαk(k =l,2,…,7),αk∈(-,),则原命题转化为:证明存在两个实数αi,αj∈(-,),满足0≤tg(αi-αj)≤·由抽屉原则知,αk中必有 4个在[0,)中或在(-,0)中,不妨设有4个在[0,)中.注意到tg0=0,tg=,而在[0,)内,tgx是增函数,故只需证明存在αi,αj,使0<αi-αj <即可。为此将[0,)分成三个小区间:[0,]、(,]、(,)。又由抽屉原则知,4个αk中至少有2个比如αi,αj同属于某一区间,不妨设αi>αj,则0≤αi-αj ≤,故0≤tg(αi-αj)≤·这样,与相应的xi=tgαi、xj=tgαj,便有0≤≤·
不对吧,令x=0,y=1就不成立了
若任给7个实数中有某两个相等,结论显然成立.若7个实数互不相等,则难以下手.但仔细观察可发现:与两角差的正切公式在结构上极为相似,故可选后者为类比物,并通过适当的代换将其转化为类比问题.作代换:xk=tgαk(k =l,2,…,7),证明必存在αi,αj,满足不等式0≤tg(αi-αj)≤· 证明:令xk=tgαk(k =l,2,…,7),αk∈(-,),则原命题转化为:证明存在两个实数αi,αj∈(-,),满足0≤tg(αi-αj)≤· 由抽屉原则知,αk中必有 4个在[0,)中或在(-,0)中,不妨设有4个在[0,)中.注意到tg0=0,tg=,而在[0,)内,tgx是增函数,故只需证明存在αi,αj,使0<αi-αj <即可。为此将[0,)分成三个小区间:[0,]、(,]、(,)。又由抽屉原则知,4个αk中至少有2个比如αi,αj同属于某一区间,不妨设αi>αj,则0≤αi-αj ≤,故0≤tg(αi-αj)≤·这样,与相应的xi=tgαi、xj=tgαj,便有0≤≤·
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