如图，细绳一端系着质量为M=10kg的物体A，A置于一个水平放置转盘的圆心处，转盘可绕中心转轴OO′做匀速圆

如图，细绳一端系着质量为M=10kg的物体A，A置于一个水平放置转盘的圆心处，转盘可绕中心转轴OO′做匀速圆周运动．转盘半径R=3m，表面粗糙，动摩擦因数μ=0.5．细绳另一端通过圆盘边缘处的光滑定滑轮（可视为质点）吊着质量为m=3kg的小球B，滑轮与B物体间的一段绳子长L=3m．当转盘以角速度ω匀速转动时，两段轻绳与转轴在同一竖直平面内，一段轻绳与竖直方向的夹角为θ，另一段轻绳沿水平方向．（sin37°=0.6，cos37°=0.8，sin53°=0.8，cos53°=0.6，g取10m/s2）求：（1）当转盘匀速转动时，测得θ=37°．求此时转盘转动的角速度ω；（2）求使A不发生相对滑动，转台做匀速圆周运动时转动角速度的最大值．

（1）由几何关系知，小球B圆周运动的半径r=R+Lsinθ
对小球B受力分析知，小球受绳的拉力T和重力mg作用，合力提供水平方向圆周运动的向心力故有：
竖直方向：Tcosθ-mg=0…①
水平方向：Tsinθ=mrω2…②
由①得T=
mg
cosθ 代入②得：
mgtanθ=m（R+Lsinθ）ω2
得角速度ω＝




gtanθ
R+Lsinθ ＝




10×
3
4
3+3×0.6 rad/s＝1.25rad/s
（2）使A不发生相对滑动时绳中张力最大值为T′=μMg=0.5×10×10N=50N
则令此时拉B球的绳与竖直方向的夹角为α，则此时圆周运动的半径r=R+Lsinα
在竖直方向B球受力平衡有：T′cosα-mg=0…③
在水平方向B球受力提供向心力有：T′sinα＝mr
ω 2
max
…④
由③得：cosα＝
mg
T′ ＝
3×10
50 ＝0.6
所以α=53°代入④得：
T′sin53°＝m(R+Lsinα)
ω 2
max

得：ωmax＝




50×0.8
3×(3+3×0.8) rad/s＝1.57rad/s
答：（1）当转盘匀速转动时，测得θ=37°时转盘转动的角速度ω为1.25rad/s；
（2）求使A不发生相对滑动，转台做匀速圆周运动时转动角速度的最大值为1.57rad/s．

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