求二重积分∫∫√(x2+y2)dxdy其中积分区域{(x,y)|x2+y2<=2x,0<=y<=x} 求解。。

求二重积分∫∫√(x2+y2)dxdy其中积分区域{(x,y)|x2+y2<=2x,0<=y<=x} 求解。。

用极坐标来解吧，
令x=r*cosθ，y=r*sinθ
那么显然√(x²+y²)=r，
由x²+y²≤2x可以得到
r²≤2r*cosθ即r≤2cosθ
故r的范围是0到2cosθ

而0≤y≤x，
则0≤sinθ≤cosθ
所以θ的范围是0到π/4
那么
∫∫√(x²+y²)dxdy
=∫∫ r² dr *dθ
=∫(上限π/4，下限0)dθ *∫(上限2cosθ，下限0) r² dr
=1/3 *∫(上限π/4，下限0) (2cosθ)^3dθ
=8/3 *∫(上限π/4，下限0) (cosθ)^3dθ
=8/3 *∫(上限√2 /2，下限0) cos²θ d(sinθ)
=8/3 *∫(上限√2 /2，下限0) 1 -sin²θ d(sinθ)
=8/3 *[sinθ - 1/3 *(sinθ)^3] 带入sinθ的上限√2 /2和下限0
=10√2 /9