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怎么判断一复变函数是否解析

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解决时间 2021-04-01 10:59
怎么判断一复变函数是否解析
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(1)如果给出的函数形式是f(z)=u(x,y)+i*v(x,y),且u和v的形式比较和谐,那么直接根据柯西-黎曼方程来进行判断。
(2)如果给出的函数形式是w=f(z)【表达式中只有z,没有x(即Rez)、y(即Imz)和其他自变量】,而且f(z)的形式比较和谐,那么在定义域内都可以认为f(z)是解析的。例如,若f(z)是关于z的有理函数,那么除了分母为0的点之外,在其他地方都是解析的;如果含有对数,那么还要剔除对数内的部分为0的情况。
(3)如果给出的函数形式是w=f(z,z')【其中z'是z的共轭】,而没有其他变量,而且函数的形式比较和谐,那么这个函数在复平面上处处不解析。
(4)如果给出的函数形式是这样的:

如果要求函数f(z)在z0处是否解析,就要根据u和v的表达式,结合柯西-黎曼方程判断f(z)在z0附近【不包括z0】是否可导。如果可导,进一步通过定义法判断f(z)在z0点是否可导。若两次判断都满足可导条件,则f(z)在z0处解析。
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