什么是向量集合

定义

和数集一个概念，只是数集的元素是数字，而向量集合的元素是集合罢了。

日常中我们所遇到的量可以分为两类：一类量用一个数值便可以完全表示，比如面积、温度、时间或质量等都属于这一类，这一类质量称为数量（或标量）；另一类量，除了要用一个数以外，还要指明它的方向才能够完全表示,比如速度、加速度、力等都属于这一类，这一类的量称 为向量（或矢量）。 向量可以用一条有向线段形象地表示，线段的方向表示向量的方向，它的长度称为向量的模。向量常记为(a→)，(b→)或a, b等，有时也用(a→b)表示一个向量，a是起点，b是终点。从a到b的指向表示(a→)的方向。向量(a→b)的模记作|(a→b)|。模等于零的向量叫做零向量，记作0或(0→)。零向量的方向可以看作是任意的。模等于1的向量叫做单位向量。对于非零向量(a→)，我们用(a(0)→)表示a同向的单位向量，简称为a的单位向量。在直角坐标系中，向量(o→m) 叫做点m的向径，记做r或(r→) 。于是空间每一点m，对应着一个向径 ；反之，每一向径r，对应着一个确定的点m。两个向量的方向相同、模相等时，称它们是相等的向量，记作(a→) =(b→) 。因此，一个向量经过平移后与原向量相等。与的模相同而方向相反的向量叫做 的负向量，记作(a→)=-(c→) 。 二、向量及运算 1、向量的加法 两向量(o→a) 与(o→b)的和，是以这两向量做相邻两边的平行四边形的对角线向量(o→c) ，记作(o→a)+(o→b)=(o→c) 这种方法叫做向量加法的平行四边形法则，由于平行四边形的对边平行且相等，我们还可以这样来作出两向量的和：作 (o→a)=(a→)。以(a→)的终点为起点作(b→)=(a→c) ，连接oc ，就得(o→c) 。这一方法叫做向量加法的三角形法则。向量的加法满足交换律、结合律。如设有向量(a→) ，(b→) 即有(a→)+(b→)=(b→)+(a→) [(a→)+(b→)]+(c→)=(a→)+[(b→)+(c→)]。 特别地，若(a→) 与(b→) 共线（平行或在同一条直线上），则规定它们的和是这一个向量：当(a→) 与(b→) 的指向相同时，和向量的方向与原来两向量的方向相同，其模等于两向量的模的和；当(a→) 与(b→) 的指向相反时，和向量的方向与较长的向量的方向相同，而模等于较大向量的模减去较小向量的模。 2.向量的减法 减法是加法的逆运算，若(b→)+(c→)=(a→) ，则定义(c→) 为向量(a→) 与(b→) 之差，记作(c→)=(a→)-(b→)。 由于(a→)+[-(b→)]=(a→)-(b→) ，所以由加法的法则可得减法的相应法则：以(a→)及-(b→) 为邻边作平行四边形，则对角线向量就是(c→) 。若(a→) 与(-b→) 的起点相同，由(b→) 的终点到(a→) 的终点所成的向量也为(a→)-(b→)。此法则称为减法的三角形法则。

数学上，一个线性变换的一个特征向量（本征向量）是一个非退化向量，其方向在该变换下不变。该向量在该变换下缩放的比例称为其特征值（本征值）。 图1给出了一幅图像的例子。经常，一个变换可以由其特征值和特征向量完全表述。一个特征空间是相同特征值的特征向量的集合。 这些概念在纯数学和应用数学的很多领域发挥着巨大的作用—在线性代数，泛函分析，甚至一些非线性的情况地位显著。 “特征”一词来自德语的eigen，由希尔伯特在1904年首先在这个意义下使用（亥尔姆霍尔兹有更早的在相关意义下的使用）。eigen一词可翻译为“自身的”，“特定于...的”，“有特征的”或者“个体的”—这强调了特征值对于定义特定的变换有多重要

向量空间（vectorspace），线性代数概念，解析几何中平面V2，空间V3的推广。在取定坐标系后，平面上的点可由实数对（a，b）表示，空间的点可由三元实数组(a，b，c)表示。推广之，考虑数域F的n元数组集 Fn＝｛（a1，…，an）｜ai∈F，i＝1，2，…，n｝，Fn对矩阵的加法及数乘做成的代数系称为F上的一个n维向量空间或n维线性空间，Fn中的元素称为向量。类似于在V3的任一坐标系下，每个向量有唯一的坐标，Fn中每个向量a＝（a1，…，an）可由e1＝（1，0，…，0），e2＝（0，1，…，0），…，en＝（0，0，…，1）唯一地表示：a＝a1e1＋…＋anen。e1，…，en称为Fn的一个基，n称为Fn的维数，（a1，…，an）称为a关于基e1，…，en的坐标。向量空间的定义还可以一般化，若V是一个非空集合，V有加法，数域F对V有数乘法，且这两种运算满足一定条件，则称V是F上的向量空间，V的元素称为向量。若a1，…，an，β∈V，l1，…，ln∈F，β＝l1α1＋…＋lnan，则称β可由a1，…，an线性表示，若存在不全为0的l1，…，ln，使l1a1＋…＋lnan，为零向量，则称a1，…，an线性相关，否则，称a1，…，an线性无关。若V中每个向量可由a1，…，an唯一地表示，则称a 1，…，an为V的一个基，n称V的维数。F上每个n维向量空间与Fn有相同的代数性质，即它们同构。向量空间讨论向量间线性关系，子空间及空间分解等。数学中凡讨论线性问题时，可利用向量空间的观点。