是否存在一个等差数列，使Sn/S2n是一个与n无关的常数，若存在，求此常数；若不存在，试说明理由

是否存在一个等差数列，使Sn/S2n是一个与n无关的常数，若存在，求此常数；若不存在，试说明理由

解：
对于等差数列 前n项和 有公式：
Sn=na1+n(n-1)d/2 ........... ①
S2n=na1+2n(2n-1)d/2 ........... ②
于是：
Sn/S2n=[na1+n(n-1)d]/[2na1+2n(2n-1)d] ........... ③
将其展开：
Sn/S2n=[a1+(n-1)d]/[2a1+(4n-2)d]..........将n约去
=1-(3n-1)d/[2a1+(4n-2)d] ............ ④

于是只要 后边的分式是一个常数即可
并设这个常数为 k （k≠0,因为如果k=0必然有d=0）此时

Sn/S2n=1-k ............. ⑤
则：

(3n-1)d=k[2a1+(4n-2)d] ............. ⑥

移项 整理得：

a1=[(3n-1)/2k-2n+1]d ............. ⑦
a1与d都是常数 两者之间比例关系必然与 n无关
因此 有
3n/2k-2n=0 （使⑦式中与 n 有关的项为零）

即得：
k=3/4

代入 ⑤⑦式得：
a1=d/3
Sn/S2n=1-k=1/4