设函数以2π为周期，它在[-π，π]上的表达式为f(x)=π^2-x^2. 1.求fx的傅里叶展开式。

设函数以2π为周期，它在[-π，π]上的表达式为f(x)=π^2-x^2. 1.求fx的傅里叶展开式。

一 f(x)=pi^2-x^2
a0=1\pi ∫(-pi—pi) f(x)dx; 括号内是积分范围
an=1\pi ∫(-pi—pi) f(x)cosnxdx;
bn=1\pi ∫(-pi—pi) f(x)sinnxdx;
傅里叶展开式为 2\a0+ ∑(an*cos(nx)+bn*sin(nx))
具体运算我不写了，傅里叶展开式就是套公式而已，运算出的答案一般长而不怪，太怪的话你就看看你的积分有无错误。

二
∑(-1)^(n-1)*(1/n^2)=∑(-1)^(n-1)*(1\n) * ∑(1\n)
麦克劳林公式∑(-1)^(n-1)*(1\n)=ln(1+1)=ln2
∑(1\n)也为ln2，它是调和级数，这里比较麻烦，不写出来了，网上有过程
答案就是两个相乘
ps：这里我默认∑xy=∑x*∑y 我不知道是否正确，原式里只带入了n=1,2,3的值验算，结果倒是对的，但不知道是否有这公式
其实这种题就是用麦克劳林公式去将交错级数简化，熟悉就好

三
第三个有点怪，目测也是调和级数，你们连这也要考吗，当年我是感兴趣才看的这部分，老师几句话就带过了，书上也只有一个1\n的求和，证明收敛都很麻烦，还要求具体数据，这部分我帮不了你，具体参见调和函数百科，应该有求和的公式

好几年没看高数，不敢保证正确，希望能帮到你追问恩，谢谢你。第2,3题是根据第一题的答案带入数值计算的，我知道方法，就是总是算不对，所以想来看看有没有人给个具体的步骤，让我看看我哪里做错了。追答第三题答案是24\pi平方吗，我用不等式估了下，不知道对不对。
算不对的话肯定是运算问题了，方法一般都不会错的，高数的运算确实恶心，傅里叶展开式更是....。
具体的步骤是指第一问吗，如果需要的话我可以帮你算一下，不过是用数学软件....追问恩，第三题是的。你帮我算一下第一问吧，谢谢啦。追答我帮你算了一部分，后面赋值我实在算不动了，分布积分下来一长串，不过an，bn应该都是对的
a0很简单，我直接给答案了4pi^2\3
an比较麻烦（π^2-x^2）cos(nx)拆成两部分积分，一部分是1\pi∫π^2*cos(nx)这部分积分很简单，积下来是pi\n * sin(nx),后部分就麻烦了，要用两步分布积分
∫ x^2 cosnx dx
=x^2\n*sin(nx)-2∫x\n*sin(nx)dx
=x^2\n*sin(nx)-2(-x\n^2*cosnx-∫-n^2cos(nx)dx)
=n\x^2*sin(nx)+2x\n^2*cos(nx)-2\n^3*sin(nx)
答案还要再乘以一个1\pi
然后把区间取值带进去再相减就行了an=4\n^2*cos(n*pi)
bn也是和an一样，前面部分为-pi\n*cos(nx) 后半部分为-x^2\n*cos(nx)+2x\n^2*sin(nx)+2\n^3*cos(nx)然后再乘以一个1\pi，
我就算到了这里bn没赋值算，居然用了我40几分钟，擦，生疏了，不过积分结果我都验证过，应该是对的。

好吧，我帮你算完了，bn赋值后为0
把an，bn,a0代入后得
2pi^2\3+ ∑(4\n^2*(cos(n*pi))*cos(nx)
cosnpi可以化成交错级数，over

很麻烦的，我已经展开a0啦，接下来an,bn，你自己求f(x)=4/3pi,剩下的两个分部积分即可。相信你能做出来。接下来的两问，你名x为特殊的值就可以啦