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等差数列公式大全

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解决时间 2021-04-26 09:47
等差数列公式大全
最佳答案
一、 等差数列
  如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母d表示。
  等差数列的通项公式为:an=a1n+(n-1)d (1)
  前n项和公式为:Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2 (2)
  以上n均属于正整数。
  从(1)式可以看出,an是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0),(n,an)排在一条直线上,由(2)式知,Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0,a1≠0),且常数项为0。
  在等差数列中,等差中项:一般设为Ar,Am+An=2Ar,所以Ar为Am,An的等差中项,且为数列的平均数。
  且任意两项am,an的关系为:an=am+(n-m)d
  它可以看作等差数列广义的通项公式。
  从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出:a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2,…,n}
  若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有am+an=ap+aq,Sm-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+1,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Snk-S(n-1)k…或等差数列,等等。
  和=(首项+末项)×项数÷2
  项数=(末项-首项)÷公差+1
  首项=2和÷项数-末项
  末项=2和÷项数-首项
  末项=首项+(项数-1)×公差
  等差数列的应用:
  日常生活中,人们常常用到等差数列如:在给各种产品的尺寸划分级别
  时,当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时,常按等差数列进行分级。
  若为等差数列,且有an=m,am=n.则a(m+n)=0。
  3.等差数列的基本性质
  ⑴公差为d的等差数列,各项同加一数所得数列仍是等差数列,其公差仍为d.
  ⑵公差为d的等差数列,各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列,其公差为kd.
  ⑶若、为等差数列,则{ a ±b }与{ka +b}(k、b为非零常数)也是等差数列.
  ⑷对任何m、n ,在等差数列中有:a = a + (n-m)d,特别地,当m = 1时,便得等差数列的通项公式,此式较等差数列的通项公式更具有一般性.
  ⑸、一般地,如果l,k,p,…,m,n,r,…皆为自然数,且l + k + p + … = m + n + r + … (两边的自然数个数相等),那么当为等差数列时,有:a + a + a + … = a + a + a + … .
  ⑹公差为d的等差数列,从中取出等距离的项,构成一个新数列,此数列仍是等差数列,其公差为kd( k为取出项数之差).
  ⑺如果是等差数列,公差为d,那么,a ,a ,…,a 、a 也是等差数列,其公差为-d;在等差数列中,a -a = a -a = md .(其中m、k、 )
  ⑻在等差数列中,从第一项起,每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项.
  ⑼当公差d>0时,等差数列中的数随项数的增大而增大;当d<0时,等差数列中的数随项数的减少而减小;d=0时,等差数列中的数等于一个常数.
  ⑽设a 1,a 2,a 3为等差数列中的三项,且a1 与a2 ,a 2与a 3的项距差之比 = d( d≠-1),则2a2 = a1+a3.
全部回答
楼主您好,an=a1+(n-1)d
an=a1+(n-1)d
和=(首项+末项)×项数÷2
  项数=(末项-首项)÷公差+1
  首项=2和÷项数-末项
  末项=2和÷项数-首项
  末项=首项+(项数-1)×公差
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