∵∵ ;喇圃i心间

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证明：
必要性：设I为△ABC内心，AI、BI、CI，的延长线分别交△ABC的外接圆与A1、B1、C1，连接A1C、A1B。
在△A1BI中，∠A1IB＝0.5﹙∠A＋∠B﹚，∠A1BI＝∠A1BC＋∠0.5B＝0.5﹙∠A＋∠B﹚，故A1B=A1I
同理：在△ICA1中，A1I=A1C，于是A1B=A1I=A1C
所以A1是△IBC的外心，同理B1、C1，分别是△ICA，△IAB的外心，即△IBC，△ICA，△IAB的外心均在△ABC的外接圆上。
充分性：设I’为△ABC内一点，△I’BC，△I’CA，△I’AB的外心均在△ABC的外接圆上,分别为A2、B2、C2。
由A2B＝A2C，A1B=A1C，知A1，A2重合，同理(B1、B2)，(C1、C2)重合
由A1、C1，分别是△IBC，△IAB的外心，知A1C1垂直平分线段BI。则A1(A2)、C1(C2)分别是△I’BC，△I’AB的外心，知A1C1垂直平分线段BI’。由此知I’和I重合，即I’为△ABC内心
所以：I为△ABC内心的充要条件是：△IBC，△ICA，△IAB的外心均在△ABC的外接圆上。