怎么证明实数上的不可约多项式次数至多为2
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解决时间 2021-12-30 22:22
- 提问者网友：趣果有间
- 2021-12-30 06:09
怎么证明实数上的不可约多项式次数至多为2
最佳答案
- 五星知识达人网友：蕴藏春秋
- 2022-01-06 12:36
令P(x)为最高次数为n>=3的实系数多项式
若n为奇数
则lim(x->+∞)P(x)=-lim(x->-∞)P(x)，即P(x)至少有一个零点a
则P(x)至少存在一个因式(x-a)
若n为偶数偶数，不妨设为2k
则P(x)有k对共轭的复数根
任取其中一对复数根z和z'，则P(x)在复数域上有因式(x-z)和(x-z')
我们知道(x-z)(x-z')=x^2-(z+z')x+zz'=x^2-2*Re(z)+|z|^2，其中Re(z)=z的实部
x^2-2*Re(z)+|z|^2是实系数多项式
即P(x)可以分解为k个二次实系数多项式的乘积
综上所述，当n>=3时，P(x)在实数域上可约
若n为奇数
则lim(x->+∞)P(x)=-lim(x->-∞)P(x)，即P(x)至少有一个零点a
则P(x)至少存在一个因式(x-a)
若n为偶数偶数，不妨设为2k
则P(x)有k对共轭的复数根
任取其中一对复数根z和z'，则P(x)在复数域上有因式(x-z)和(x-z')
我们知道(x-z)(x-z')=x^2-(z+z')x+zz'=x^2-2*Re(z)+|z|^2，其中Re(z)=z的实部
x^2-2*Re(z)+|z|^2是实系数多项式
即P(x)可以分解为k个二次实系数多项式的乘积
综上所述，当n>=3时，P(x)在实数域上可约
全部回答
- 1楼网友：一秋
- 2022-01-06 13:23
实数域上的不可约多项式类型有2种:一次多项式,只含非实共轭复数根的二次多项式.
所以是1或2
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