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已知圆O1与圆O2都过点A,AO1是圆O2的切线,圆O1交O1O2于点B,连结AB并延长交圆O2于点C,连结O2C

答案:2  悬赏:70  手机版
解决时间 2021-01-25 16:05
怠哗糙狙孬缴茬斜长铆 1、求证:O2C⊥O1O2;2、证明:AB*BC=2O2B*BO1;3、如果AB*BC=12,O2C=4,求AO1的长
最佳答案
△∵∴⊥∥∠⊙≌∽°
辅助线:延长BO1交O1于点D;
(1)O2C⊥O1O2;
∵BD是直径
∴∠BAD=90°
∵AO1是圆O2的切线
∴O2A⊥O1A
∴∠O2AB=∠ADB(弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧对的圆周角)
∵O2A=O2C=半径
∴∠O2AB=∠O2CB
∴∠O2CB=∠ADB
再加上一组对顶角相等;
∴△CBO2∽△DBA
∴CO2B=90,O2C⊥O1O2;

(2)AB*BC=O2B*BD
我们上面已经证明了△CBO2∽△DBA,根据对应边成比例则有:
BC/O2B=DB/AB
而DB=2BO1(直径与半径的关系)将其代入上式,并十字相乘变形,即可得出结论。

(3)如果AB*BC=12,O2C=4,求AO1的长
根据圆割线定理,在上图中有如下关系:
O2B*O2D=O2A*O2A
O2D=O2B+BD代入上式后:
O2B*(O2B+BD)=O2A*O2A,
变形打开括号后:O2B*O2B+O2B*BD=O2A*O2A,
上列式子中,已知O2A=O2C=4;O2B*BD=2O2B*BO1=AB*BC=12;仅有O2B是未知,代入即可求得O2B
O2B*O2B+12=16
解得O2B=2
将O2B=2再代入O2B*BD=2O2B*BO1=AB*BC=12中,得出BD=6,则O1A=3
全部回答
解答:(1)证明:∵o1a为⊙o2的切线, ∴∠o1ab+∠bao2=90°, 又∵ao2=o2c, ∴∠bao2=∠c, 又∵ao1=bo1, ∴∠o1ab=∠abo1=∠cbo2, ∴∠cbo2+∠c=90°, ∴∠bo2c=90°, ∴o2c⊥o1o2; (2)证明:延长o2o1交⊙o1于点d,连接ad. ∵bd是⊙o1直径, ∴∠bad=90°. 又由(1)可知∠bo2c=90°, ∴∠bad=∠bo2c, 又∵∠abd=∠o2bc, ∴△o2bc∽△abd, o2b ab = bc bd , ∴ab?bc=o2b?bd, 又∵bd=2bo1, ∴ab?bc=2o2b?bo1. (3)解:由(2)证可知∠d=∠c=∠o2ab,即∠d=∠o2ab, 又∵∠ao2b=∠do2a, ∴△ao2b∽△do2a, ao2 do2 = o2b o2a , ∴(ao2)2=o2b?o2d, ∵o2c=o2a, ∴(o2c)2=o2b?o2d①, 又由(2)ab?bc=o2b?bd②, 由①-②得o2c2-ab?bc=o2b2即42-12=o2b2, ∴o2b=2, 又∵o2b?bd=ab?bc=12, ∴bd=6, ∴2ao1=bd=6, ∴ao1=3.
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