一道高二解析几何求离心率问题

已知Ａ．Ｂ为双曲线的左右焦点，Ｐ为双曲线上任意一点，若Ｐ到Ｂ的距离的平方与Ｐ到Ａ的距离的比值的最小值是８a，求离心率的取值范围．

设PA=x,则PB=2a-x,Ｐ到Ｂ的距离的平方与Ｐ到Ａ的距离的比值为y(√（c*c+a*a)≤x<2a)

依题意：（2a-x)^2/x=y

y=(4a^2/x)+x-4a

y在顶域内是单调递减的只有最大值没有最小值

设PB=x,则PA=2a＋x，按题意，当最小值时，ｐ点一定在右半支上，且x>=c-a Ｐ到Ｂ的距离的平方与Ｐ到Ａ的距离的比值

=x^2/(2a+x)^2

=[x/(2a+x)]^2

=[1/(2a/x+1)]^2

上式在Ｘ取最小值x=c-a时，即Ｐ在点ｘ轴上，有最小值[(c-a)/(c+a)]^2＝[(e-1)/(e+1)]^2，根据题意有

[(e-1)/(e+1)]^2=8a

由于e>1

故(e-1)/(e+1)=√(8a)

e=[1+√(8a)]/[1-√(8a)]