关于三角恒等变换的函数大题的解法讨论

本人高一，自学必修四的时候遇到了困难，就是这样一类题：
已知函数f(x)=……【一串三角函数】，求最小正周期、单调递增区间，等等
这种题一般肯定是要化成f(x)=Asin(ωx+φ)的形式，但是我就是化不成，总的来看就是这么几个问题
题目中函数前的系数有1或√3不知道怎么处理，不知道应该提出1/2还是什么
经常化成sinxsiny+cosxsiny这样的形式，之后就不会了
化出三个三角函数的乘积的和或者两个三角函数的积
有时同时出现x+π/3和x+π/6就不会了
请各位大大帮我看看这些情况怎么处理

总体思路是对的啊，我想以下几个公式可以帮助你进一步化简或者变换：
sin(x+y) = sinxcosy + cosxsiny
cos(x+y) = cosxcosy - sinxsiny
根据上两个式子，我想你应该也可以写出sin(x-y)，cos(x-y)的展开式
进一步，
积化和差公式：
sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2
cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2
cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2
和差化积公式：
sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]
sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]
cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]
cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]

以上公式灵活运用可以解决你的疑问，例如
sinxcosy+cosxsiny形式的化简，
同时出现x+π/3和x+π/6是否可以考虑积化和差，这样就得到常角度 x+π/3-(x+π/6) = π/6的三角函数
另外注意将一些系数转换回三角函数，例如你说的1或√3，可以联系 cosπ/3=1/2 ,sinπ/3=√3/2

不知是否可以理解

解：（1）此类题型还原比较容易
设√(sin2x+1)=t，故：sin2x=t²-1
因为-1≤sin2x≤1，故：0≤sin2x+1≤2
故：0≤t≤√2
故：y=f(x)=sin2x+2√(sin2x+1)
=t²-1+2t
=(t+1) ²-2
故：-1≤y≤(√2+1) ²-2=2√2+1
即：t=0时，此时x=kπ+3π/4或表示为x=kπ-π/4，k∈z,y=f(x)有最小值－1
当t=√2时，此时x=kπ+π/4，k∈z,y=f(x)有最大值2√2+1

（2）f(x)=sin2x+2√(sin2x+1)
=2sinx cosx+2√(2sinx cosx+sin²x+cos²x)
= sin²x+cos²x +2sinx cosx+2√(sinx+cosx) ²-1
=(sinx+cosx) ²+2∣sinx+cosx∣-1
=(∣sinx+cosx∣+1) ²-2
=(√2∣sin(x+π/4)∣+1) ²-2
故：∣sin(x+π/4)∣=0时。即： x=kπ-π/4，k∈z,y=f(x)有最小值－1
∣sin(x+π/4)∣=1时。即：x=kπ+π/4，k∈z,y=f(x)有最大值2√2+1