（2009?攀枝花）如图所示，已知实数m是方程x2-8x+16=0的一个实数根，抛物线y=?12x2+bx+c交x轴于点A（m，0

（2009?攀枝花）如图所示，已知实数m是方程x2-8x+16=0的一个实数根，抛物线y=?12x2+bx+c交x轴于点A（m，0）和点B，交y轴于点C（0，m）．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设点D为线段AB上的一个动点，过D作DE∥BC交AC于点E，又过D作DF∥AC交BC于点F，当四边形DECF的面积最大时，求点D的坐标；（3）设△AOC的外接圆为⊙G，若M是⊙G的优弧ACO上的一个动点，连接AM、OM，问在这个抛物线位于y轴左侧的图象上是否存在点N，使得∠NOB=∠AMO？若存在，试求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

（1）∵实数m是方程x2-8x+16=0的一个实数根，
∴m=4；
即A（4，0）、C（0，4），代入抛物线的解析式中，可得：








?
1
2 ×16+4b+c＝0
c＝4 ，
解得







b＝1
c＝4 ；
∴抛物线的解析式为：y=?
1
2 x2+x+4；

（2）易知：B（-2，0），则AB=6，S△ABC=
1
2 AB?OC=12；
设点D的坐标为：（d，0），则BD=d+2，AD=4-d；
∵DF∥AC，
∴△BDF∽△BAC，
∴
S△BDF
S△BAC ＝(
BD
AB )2=(
d+2
6 )2；
∵S△ABC=12，
∴S△BDF=
1
3 （d+2）2；
同理可求得：S△ADE=
1
3 （4-d）2；
∴S?CEDF=S△ABC-S△BDF-S△ADE
=12-
1
3 （d+2）2-
1
3 （4-d）2
=-
2
3 d2+
4
3 d+
16
3 =-





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解：（1）∵实数m是方程x2-8x+16=0的一个实数根， ∴m=4； 即a（4，0）、c（0，4），代入抛物线的解析式中，可得： {-12×16+4b+c=0c=4， 解得 {b=1c=4； ∴抛物线的解析式为：y= -12x2+x+4； （2）易知：b（-2，0），则ab=6，s△abc= 12ab•oc=12； 设点d的坐标为：（d，0），则bd=d+2，ad=4-d； ∵df∥ac， ∴△bdf∽△bac， ∴ s△bdfs△bac=(bdab)2= (d+26)2； ∵s△abc=12， ∴s△bdf= 13（d+2）2； 同理可求得：s△ade= 13（4-d）2； ∴s▱cedf=s△abc-s△bdf-s△ade =12- 13（d+2）2- 13（4-d）2 =- 23d2+ 43d+ 163=- 23（d-1）2+6； 故当d=1，即d（1，0）时，四边形cedf的面积最大，且最大值为6． （3）如图： 由于a（4，0）、c（0，4），那么oa=oc=4，即△oac是等腰rt△； 点n在y轴左侧，那么∠nob＜90°， 因此∠amo也是锐角，即m在劣弧oc上； 由圆周角定理知：∠aco=∠amo=45°， 故∠nob=∠amo=45°； 设n点坐标为（m，n），则|m|=|n|； 当m=n时，n（m，m），代入抛物线的解析式中，得： m= -12m2+m+4，解得：m=-2 2（正值舍去）； ∴n（-2 2，-2 2）； 当m=-n时，n（m，-m），代入抛物线的解析式中， 得：-m= -12m2+m+4， 解得：m=2-2 3（正值舍去）； ∴n（2-2 3，2 3-2）； 综上所述，存在符合条件的n点，且n点坐标为：n（-2 2，-2 2）或（2-2 3，2 3-2）．