用极限定义证明lima^(1/n)=1(n趋向于无穷大）

用极限定义证明lima^(1/n)=1(n趋向于无穷大）

方法一：lim a^(1/n)
=lim e^{ln[a^(1/n)]}
=lim e^[(1/n) * ln(a)]
当n趋向于无穷大
1/n趋向于0
所以lim e^[(1/n) * ln(a)]
=e^[0*ln(a)]
=e^0=1

方法二：
1.a=1时，显然成立
2.a>1时
令x=a^(1/n)-1,则
a=(x+1)^n=1+ nx+ n(n-1)/2 *x^2 + n(n-1)(n-2)/(1*2*3)* x^3+ ......
≥nx
0≤x≤a/n
limo≤lim(x)≤lim(a/n)，即0≤lim(x)≤o
所以lim(x)=0,即lim[a^(1/n)-1]=0,则lim[a^(1/n)]=1
3.01
lim[a^(1/n)]=lim{1/[b^(1/n)]}
由2知a>1时，lim[a^(1/n)]=1
则lim[b^(1/n)]=1
所以lim[a^(1/n)]=lim{1/[b^(1/n)]}=1/1=1

an=a^(1/n) a=1时an=1,取n=1，对任何ε>0 当n>n时总有|an-1|<ε 所以an->1 a>1时记an=1+hn hn>0 利用二项式展开 得a=(1+hn)^n=1+nhn+……>1+nhn 于是hn<(a-1)/n 从而|an-1|=hn<(a-1)/n 对任何ε>0,取n=[(a-1)/ε],当n>n时总有|an-1|<ε所以an->1 对于a<1，记b=1/a>1 如上方法，同样可证an->1