怎么解释:两两正交、非零的向量组必线性无关

怎么解释:两两正交、非零的向量组必线性无关

例子一：
1、设x_1,...,x_n为n个向量,并且两两正交。

2、假设存在常数k_1,...,k_n,使得k_1x_1+.+k_nx_n=0,下面需要说明k_1=...=k_n=0。

3、事实上,对上式两边同时左乘x_i^T (即向量x_i的转置)。

4、则 k_1x_i^Tx_1+k_2x_i^Tx_2+...+k_nx_i^Tx_n=0。

5、又x_i与其他向量正交,即x_i^Tx_j=0 (j
eq i)。

6、故k_ix_i^Tx_i=0,即 k_i |x_i|^2=0 (|x_i|表示向量x_i的长度)，于是 k_i=0。
例子二：
1、设η1, η2,..., ηs是两两正交的非零向量。

2、k1, k2,..., ks是组合系数, 使得k1·η1+k2·η2+...+ks·ηs = 0

3、对i = 1, 2,..., s, 两边与ηi做内积得ki·(ηi,ηi) = 0 (向量两两正交, 即对j ≠ i, 有(ηj,ηi) = 0)。

4、又ηi ≠ 0, 故(ηi,ηi) ≠ 0, 于是ki = 0, i = 1, 2,..., s。

5、因此使η1, η2,..., ηs线性组合得0的系数全为0, 即η1, η2,..., ηs线性无关。
1、设m个正交向量有s1...sm。

2、若k1s1+...k2sm=0。

3、等式两边内积上s1,由于两两正交有。

4、k1|s1|^2 + 0 +0...+0 =0；k1|s1|^2=0,k1=0。

5、以此类推，每个ki都为0，所以线性无关。

追问

看不懂，这是什么乘法?我只知道矩阵的乘法，麻烦教教，谢谢。。追答这只是内积的性质。

追问

下面那个懂了，用了你给的两个公式。这个呢，为什么能直接写成向量积呢，，，我给你加分追答0与所有的向量的内积都是0.追问对不起，忘记加分了。。追答没事。