设数列xn满足0<xn<1/2,xn+1=xn（1-2xn），n=1,2,…… 证明xn单减，且0<xn<1/2,n=1,2..
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解决时间 2021-11-26 11:55
- 提问者网友：孤凫
- 2021-11-26 06:21
设数列xn满足0<xn<1/2,xn+1=xn（1-2xn），n=1,2,…… 证明xn单减，且0<xn<1/2,n=1,2..
最佳答案
- 五星知识达人网友：一秋
- 2021-11-26 07:22
当n=1时|X2-X1|=1/6成立当n≥2时易知0＜Xn-1＜1所以1+Xn-1＜2所以Xn=1/（1+Xn-1）＞1/2又有|Xn+1-Xn|=|1/（1+Xn）-1/（1+Xn-1）|=|Xn-Xn-1|/[（1+Xn）*（1+Xn-1）]又有注意到（1+Xn）*（1+Xn-1）=[1+1/（1+Xn-1）]*（1+Xn-1）=2+Xn-1≥2+1/2=5/2所以|Xn+1-Xn|≤2/5|Xn-Xn-1|≤（2/5）²|Xn-1-Xn-2|≤..≤（2/5）ˆn-1*|X2-X1|=1/6（2/5）ˆn-1获证mio！
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