如何证明集合中的对称差运算满足结合律

答案:2 悬赏:40 手机版

解决时间 2021-02-28 21:27

提问者网友：临风不自傲
2021-02-27 20:35

就是那个圆圈中间有个加号的那个符号。A对称差B=(A-B)并上(B-A)

最佳答案

五星知识达人网友：鱼芗
2021-02-27 21:20

对称差结合律的证明
A⊕(B⊕C)=(A⊕B)⊕C
证明:首先,
A⊕B = (A-B)∪(B-A) (⊕定义)
= (A∩~B)∪(B∩~A) (补交转换律)
= (A∩~B)∪(~A∩B) (∩交换律) (*) © Peking University 21
A⊕(B⊕C)
= (A∩~(B⊕C))∪(~A∩(B⊕C))
= (A∩~((B∩~C)∪(~B∩C))) ∪ (~A∩((B∩~C)
∪ (~B∩C)))
= (A∩(~(B∩~C)∩ ~(~B∩C))) ∪(~A∩((B∩~C)
∪(~B∩C))) (德•摩根律)
= (A∩(~(B∩~C)∩ ~(~B∩C))) ∪
(~A∩((B∩~C)∪(~B∩C)))

= (A∩(~B∪C)∩(B∪~C))) ∪
(~A∩((B∩~C)∪(~B∩C))) (德•摩根律)
= (A∩B∩C)∪(A∩~B∩~C)
∪(~A∩B∩~C)∪(~A∩~B∩C) (分配律)

同理, (A⊕B)⊕C
= (A⊕B)∩~C)∪(~(A⊕B)∩C)
= (((A∩~B)∪(~A∩B))∩~C)∪
(~((A∩~B)∪(~A∩B))∩C)
= (((A∩~B)∪(~A∩B))∩~C)∪
((~(A∩~B)∩~(~A∩B))∩C) (德•摩根律)
= (((A∩~B)∪(~A∩B))∩~C)∪
((~(A∩~B)∩~(~A∩B))∩C)

= (((A∩~B)∪(~A∩B))∩~C)∪
((~A∪B)∩(A∪~B))∩C) (德•摩根律)
= (A∩~B∩~C)∪(~A∩B∩~C)∪
(~A∩~B∩C)∪(A∩B∩C) (分配律…)
∴A⊕(B⊕C)=(A⊕B)⊕C. #

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1楼网友：几近狂妄
2021-02-27 22:30

（a△b）△c=[（a∩非b）∪（非a∩b）]△c={非[（a∩非b）∪（非a∩b）]∩c}∪[（a∩非b）∪（非a∩b）]∩非c=（a∩b∩c）∪（非a∩非b∩c）∪（a∩非b∩非c）∪（非a∩b∩非c） a△（b△c）=a△[（c∩非b）∪（非c∩b）]=a∩{非[（c∩非b）∪（非c∩b）]}∪非a∩[（c∩非b）∪（非c∩b）]=（a∩b∩c）∪（非a∩非b∩c）∪（a∩非b∩非c）∪（非a∩b∩非c）所以（a△b）△c=a△（b△c）

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