证明：秩为r的向量组中任意r个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组.

证明：秩为r的向量组中任意r个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组.

证:设a1,a2,...,ar 是向量组中r个线性无关的向量
则对原向量组中任一向量b,
b必能由 a1,a2,...,ar 线性表示.
否则 a1,a2,...,ar,b 线性无关,与原向量组秩为r矛盾
所以根据极大无关组的定义,a1,a2,...,ar 是一个极大无关组.
再问： 请问是不是若向量组的秩为r，那么其中任意的r+1个向量一定线性相关？如果是能不能给我证明一下，谢谢！
再答： 是的. 这由向量组的秩的定义就可以知道 向量组的秩是其一个极大无关组所含向量的个数. 极大的含义就是不会有含有更多向量的线性无关的部分组. 如果向量组中有r+1个向量线性无关, 则向量组的秩至少是 r+1. 具体这样证: 因为向量组的秩为r, 可设 a1,...,ar 是向量组的一个极大无关组. 对任意r+1个向量 b1,...,br+1, 则它们可由极大无关组线性表示 所以 r(b1,...,br+1)