△ABC中,a、b、c是三内角∠A、∠B、∠C所对的边,求证：a^2=b(b+c)是∠A=2∠B的充
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解决时间 2021-02-12 15:56
- 提问者网友：欲劫无渡
- 2021-02-12 07:22
△ABC中,a、b、c是三内角∠A、∠B、∠C所对的边,求证：a^2=b(b+c)是∠A=2∠B的充
最佳答案
- 五星知识达人网友：纵马山川剑自提
- 2021-02-12 08:32
证明：先证a²=b(b+c)是∠A=2∠B的充分条件.由a²=b²+c²-2bccosA得cosA=(b²+c²-a²)/(2bc),又由a²=b(b+c)得c=(a²-b²)/b,代入cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)得cosA=[b²+(a²-b²)²/b²-a²]/[2(a²-b²)]=(a²-2b²)/(2b²)=a²/(2b²)-1=sin²A/(2sin²B)-1=(1-cos²A)/(1-cos2B)-1,即1+cosA=(1-cos²A)/(1-cos2B),1=(1-cosA)/(1-cos2B),1-cosA=1-cos2B,cosA=cos2B,A=2B或A=2π-2B.若A=2π-2B,则A+2B=2π,A/2+B=π,A+B＞π,故A=2π-2B不合题意,所以A=2B.再证a²=b(b+c)是∠A=2∠B的必要条件.若A=2B,则sinA=sin2B=2sinBcosB,cosB=sinA/(2sinB)=a/(2b),又cosB=(a²+c²-b²)/(2ac),所以a/(2b)=(a²+c²-b²)/(2ac),b(a²+c²-b²)/(a²c)=1,b(a²+c²-b²)=a²c,a²b+bc²-b²b=a²c,a²b-a²c=b²b-bc²,a²(b-c)=b(b²-c²),a²=b(b+c).
全部回答
- 1楼网友：woshuo
- 2021-02-12 09:18
哦，回答的不错
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