若lim[√(ax²+bx+c)-αx-β]=0，求α，β（a>0）
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解决时间 2021-04-06 00:01
- 提问者网友：藍了天白赴美
- 2021-04-05 07:13
若lim[√(ax²+bx+c)-αx-β]=0，求α，β（a>0）
最佳答案
- 五星知识达人网友：一袍清酒付
- 2021-04-05 08:34
x→∞？
√(ax²+bx+c)-αx-β
=[(ax²+bx+c)-(αx+β)^2]/[√(ax²+bx+c)+αx+β]
=[(a-α²)x²+(b-2αβ)x+(c-β^2)]/[√(ax²+bx+c)+αx+β]
分子分母同除以x
=[(a-α²)x+(b-2αβ)+(c-β^2)/x]/[√(a+b/x+c/x^2)+α+β/x]
分母的极限是 √a+α，是常数，且不能为0
分子是(a-α²)x+(b-2αβ)
只有 a=α²，b=2αβ
而√a+α≠0
所以 α=√a
2αβ=b
β=b/(2√a)
√(ax²+bx+c)-αx-β
=[(ax²+bx+c)-(αx+β)^2]/[√(ax²+bx+c)+αx+β]
=[(a-α²)x²+(b-2αβ)x+(c-β^2)]/[√(ax²+bx+c)+αx+β]
分子分母同除以x
=[(a-α²)x+(b-2αβ)+(c-β^2)/x]/[√(a+b/x+c/x^2)+α+β/x]
分母的极限是 √a+α，是常数，且不能为0
分子是(a-α²)x+(b-2αβ)
只有 a=α²，b=2αβ
而√a+α≠0
所以 α=√a
2αβ=b
β=b/(2√a)
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- 1楼网友：千夜
- 2021-04-05 09:14
lim(x->+∞)((x+a)/x)^(bx+c)
=lim(x->+∞)((1+(a/x))^(x/a)*(a/x)(bx+c)
=lim(x->+∞)e^(a/x)(bx+c)
=lim(x->+∞)e^(ab+ac/x)
=e^ab
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