什么是完全平方数和完全平方式

什么是完全平方数和完全平方式

如果一个数恰好是某个有理数的平方，那么这个数叫做完全平方数；如果一个整式是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式。

一个数如果是另一个整数的完全平方，那麼我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。

例如：9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169

完全平方式 :代数式能写成1个式子的整体的平方。

例如：x^2+2x+1=(x+1)^2

x^2+4x+4=(x+2)^2

一个数如果是另一个整数的完全平方,那么我们就称这个数为完全平方数,也叫做平方数. 性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。 性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。 性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。 性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1 性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型 性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1。 性质7：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。 性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1, 16m+4,16m+9。 性质9：完全平方数的数字之和只能是0,1,4,7,9。 性质10：为完全平方数的充要条件是b为完全平方数。 性质11：如果质数p能整除a，但不能整除a，则a不是完全平方数。 性质12：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数，则k一定不是完全平方数。 性质13：一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数(包括1和n本身)。

对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A=B^2，则称A是完全平方式。

　　【例子】

　　（1）7x^2+4(√21)xy+12y^2是一个完全平方式，因为7x^2+4√(21)xy+12y^2=[(√7)x+(2√3)y]^2；

　　（2）x^4-4x^4-x^2+1是一个完全平方式，因为x^4-4x^4-x^2+1=(x^2-2x^2-x-1)^2；

　　（3）因为(AB)^2+(AC)^2+(BC)^2+2BCA^2+2CAB^2+2ABC^2=(AB+BC+CA)^2，所以(AB)^2+(AC)^2+(BC)^2+2BCA^2+2CAB^2+2ABC^2是一个完全平方式。

　　【几点注意】

　　（1）以上多项式，指的都是实系数多项式。所以不能称A= -P^2+2PQ-Q^2为完全平方式，因为不存在以P、Q为变元的实系数多项式B，使A=B^2。

　　（2）以上所说多项式，都是简单变元的多项式。我们不能随便称一个代数式或三角函数式为完全平方式。例如

　　①尽管有x^2-2+1/x^2=(x-1/x)^2，但是因为这里x^2-2+1/x^2和x-1/x都不是多项式，所以代数式x^2-2+1/x^2不能被称为完全平方式的。

　　②尽管有e^x+2+e^(-x)=[e^(x/2)+e^(-x/2)]^2，但是e^x+2+e^(-x)不能被称为完全平方式；

　　③尽管有1+sin2x=(cosx+sinx)^2，但是1+sin2x也不能被称为完全平方式。

　　【准完全平方式】

　　〖导言〗

　　如果把①改写为x^2-2(x)(1/x)+(1/x)^2，并将其中的1/x记为y，这里y是一个复合变元。

　　类似地在②中记u=e^(x/2)，v=e^(-x/2)；在③中记P=cosx，Q=sinx。那么u、v和P、Q都是复合变元。

　　〖定义〗

　　若对于函数式A，存在关于复合变元u1、u2、……、un的“多项式”B，使A=B^2成立，则称A是“准完全平方式”。(这里u1、u2、……、un不全是简单变元的多项式)。

　　〖例子〗

　　按照定义，上述①x^2-2+1/x^2，②e^x+2+e^(-x)和③1+sin2x都被称为“准完全平方式”。

　　这里所以要有“u1、u2、……、un不全是简单变元的多项式”的加注说明，主要为了区别出某些形式上貌似“准完全平方式”，但是本质上却是一个典型的“完全平方式”的情况。

　　例如，当P=x^2-1，Q=x时，虽然有x^4-2x^3-x^2+2x+1=[(x^2-1)^2-2(x^2-1)x+x^2]=(P-Q)^2，在形式上他是一个“准完全平方式”，但是本质上却是前述例(2)中的那个典型的“完全平方式”。

　　【类似概念 • 完全平方数】

　　若对于整数A，存在整数B，使A=B^2成立，则称A是完全平方数。

　　例如0，1，4，9，16，25，36，……等，都是完全平方数。