数学里“等价命题”是啥意思？

- -最好举个例子~

这里所谓的等价，我通常把它理解为它们是同真假的。

首先必须突出解释一下什么是真什么是假的问题。我们所说得“真”，实质上是指某个事物（命题）可以用我们现有的公理（已经大量观察、实践被绝大多数人确认为正确的理论）和定理以及公认的假设和标准经过逻辑的推论来解释，换句话说，用数学的角度，就是要关于一个我们人所规定的一个映射能够成立。比如：对顶角相等，2＋3＝5，这些命题都是基于某些数学的公理体系而言的；又如人通过运动可以减肥，我们不吃药病就很难康复，这些是建立在我们长期以来的经验总结和对我们人体的研究的基础之上的。总之真与假都不是绝对的，不过是一种推理和判断，他本来就是主观的！随着科学的发展和进步，原有的理论发现了变化甚至完全的被否定，那时的真与假就会自然的改变。又如在遥远的另一个世界上，那里的（如果存在）智能生物所能接受的真与假也一定与我们的不同。而数学作为科学的哲学，是必须要“普适”的。

解决了真与假的问题，我们来进入主题。既然真与假实质上是关于某个映射是否成立，这某个命题为真可以这样来理解：即若命题S为真，则S经过映射f：（地球2009公理）得到的象S’存在且S’必须在某个有约束的范围（区域）之内。我们不妨记为S’属于集合A。当然在考虑他的逆否命题的时候S本身必须也要受着一些约束，我们姑且记为S属于B。

则命题S为真命题就可以理解成：S属于集合B经过映射f变成S’属于集合A。当然，考虑到他的逆否命题，这个映射f也是有条件的，我们很容易想得到这一点，首先，A与B中的元素必须是“相似”的，否则逆否命题就无法产生。比如：我年轻。这个命题看似一般，实际上它是不存在逆否命题的，我是个名词，是个真实存在的事物，而年轻却不同，他是形容词，因此这个命题不存在逆否命题。如果您认为有，则不年轻的就不是我，这显然不正确。其次A与B的包含范围应该是一样大的，这一点比较难理解，我们要知道我们的思维中有一个极其重要的关系：因果关系！因果关系是我们人的大脑进行思考和推理的基本前提，我们佛家很久以前就有了关于因果论的精妙阐释，我们认为因是果的因，果是因的果，因因果果，循环反复。没有绝对的因，也没有绝对的果！因有多少，果就应该也有多少，这是我们的映射f的性质中的一条，我们往往忽略了这一点！

既然A和B当中的元素都是相似的，而且他们的范围是一样大的，我们可以认为他们是同一个集合W！

终于，前路一片光明了。我们说某命题为真：S∈W，经过f，S’∈W

它的逆否命题：在经过f的前提下，若S’不∈W（不属于符号找不到敬请谅解），S不∈W

这里我们可以采用反证法：

我们的前提先不妨定为原命题是真的。假设上面逆否命题中S∈W，根据原命题（是真的）则有S’∈W，这与条件中S’不∈W矛盾，这说明假设错误，说明了如逆否命题那样S不∈W时才是真的。

我们在假定逆否命题是真的，假设原命题中有S’不∈W，根据逆否命题（是真的），S不∈W又与条件中S∈W得出了矛盾，假设不成立，S’∈W才是真的。

如此我们可以得到：在一对逆否命题与原命题当中，只有像彼此所描述的那样的情况下才可以实现与本命题得出不矛盾的结论。这里我们强调，一个命题非真即假，不存在不真不假半真半假的情况，同时对于在同一条件同一约束下真相只有一个！这是我们早已根深蒂固的概念。同样在集合论中我们也有某一个元素要么属于某集合，要么就不属于某个集合，不存在属于又不属于，一半属于一半不属于的情况。这样一来，我们终于得到了本文题目中所说的那个结论原命题与逆否命题的等价！

我们人类最伟大的两种力量是丰富的想象力和敏锐的洞察力，其实他们都是相辅相成的，不可能想象力超强而完全没有逻辑，我强烈建议和提醒各位，要想提高您的创造力，光是整天胡思乱想绝对是没有用处的，必须带着怀疑和刨根问底的精神，把我们身边的看似简单的问题用心的思考一下，相信你一定能够有所收获的。

通俗点就是：一种命题的另一种说法