1+2²+3²+4²+…+2013²+2014²=?
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解决时间 2021-03-11 16:42
- 提问者网友：心牵心
- 2021-03-10 17:32
1+2²+3²+4²+…+2013²+2014²=?
最佳答案
- 五星知识达人网友：神的生死簿
- 2021-03-10 18:43
有个固定公式：1²+2²+3²+……+n²=n(n+1)(2n+1)/6
1+2²+3²+4²+…+2013²+2014²=2014×(2014+1)×(2×2014+1)÷6=2725088015
公式推导方法：
(n+1)³-n³=n³+3n²+3n+1-n³=3n²+3n+1
n³-(n-1)³=3(n-1)²+3(n-1)+1
……
2³-1³=3×(2-1)²+3×(2-1)+1
上述等式相加
左边=(n+1)³-n³+n³-(n-1)³+……+2³-1³=(n+1)³-1
右边=3n²+3n+1+[3(n-1)²+3(n-1)+1]+……+3×(2-1)²+3×(2-1)+1=3(1²+2²+……+n²)+3(1+2+……+n)+n=3(1²+2²+……+n²)+3[n(n+1)/2]+n
3(1²+2²+……+n²)+3[n(n+1)/2]+n=(n+1)³-1
3(1²+2²+……+n²)=(n+1)³-1-3[n(n+1)/2]-n
6(1²+2²+……+n²)=2(n+1)³-3n(n+1)-2(n+1)
6(1²+2²+……+n²)=(n+1)[2(n+1)²-3n-2]
6(1²+2²+……+n²)=(n+1)(2n²+n)
1²+2²+……+n²=n(n+1)(2n+1)/6
1+2²+3²+4²+…+2013²+2014²=2014×(2014+1)×(2×2014+1)÷6=2725088015
公式推导方法：
(n+1)³-n³=n³+3n²+3n+1-n³=3n²+3n+1
n³-(n-1)³=3(n-1)²+3(n-1)+1
……
2³-1³=3×(2-1)²+3×(2-1)+1
上述等式相加
左边=(n+1)³-n³+n³-(n-1)³+……+2³-1³=(n+1)³-1
右边=3n²+3n+1+[3(n-1)²+3(n-1)+1]+……+3×(2-1)²+3×(2-1)+1=3(1²+2²+……+n²)+3(1+2+……+n)+n=3(1²+2²+……+n²)+3[n(n+1)/2]+n
3(1²+2²+……+n²)+3[n(n+1)/2]+n=(n+1)³-1
3(1²+2²+……+n²)=(n+1)³-1-3[n(n+1)/2]-n
6(1²+2²+……+n²)=2(n+1)³-3n(n+1)-2(n+1)
6(1²+2²+……+n²)=(n+1)[2(n+1)²-3n-2]
6(1²+2²+……+n²)=(n+1)(2n²+n)
1²+2²+……+n²=n(n+1)(2n+1)/6
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- 1楼网友：渊鱼
- 2021-03-10 18:53
由公式1*1+2*2+。。。+n*n=n(n+1)(2n+1)/6可知，原式=2013*2014*4027/6=2721031819
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