已知数列{an}中，a1=1且an+1=2an+3．（1）求证：数列{an+3}是等比数列；（2）求数列{an}的前n项和Tn

已知数列{an}中，a1=1且an+1=2an+3．（1）求证：数列{an+3}是等比数列；（2）求数列{an}的前n项和Tn．

（1）∵an+1=2an+3，∴an+1+3=2（an+3）…（2分）
即
an+1+3
an+3 =2，又a1+3=4≠0…（3分）
∴数列{an+3}是以4为首项，2为公比的等比数列．     …（4分）
（2）由（1）知数列{an+3}的通项公式为an+3＝4?2n?1，
∴an＝2n+1?3…（6分）
∴Tn=a1+a2+a3+…+an
=22+23+23+…+2n+1-3n
=
22(1?2n)
1?2 -3n=2n+2-3n-4…（11分）
∴数列{an}的前n项和Tn＝2n+2?3n?4…（12分）

（1）证明：∵a1=-1，an+1=2an+3 ∴an+1+3=2（an+3），a1+3=2 ∴bn+1=2bn ∴数列{bn}是以2为首项，以2为公比的等比数列 （2）解：由（1）可得，bn=an+3＝2n ∴an＝2n?3 （3）解：∵cn=nbn=n?2n ∴sn=1?2+2?22+…+n?2n 2sn=1?22+2?23+…+（n-1）?2n+n?2n+1 两式相减可得，-sn=2+22+23+…+2n-n?2n+1 = 2(1?2n) 1?2 ?n?2n+1 =（1-n）?2n+1-2 ∴sn=（n-1）?2n+1+2