解答题数列{an}（n∈N*）中，a1=a，an+1是函数fn（x）=x3-（3an+

解答题 数列{an}（n∈N*）中，a1=a，an+1是函数fn（x）=x3-（3an+n2）x2+3n2anx极小值点．当a=0时，求通项an．

解：由题意可知，当a=0时，a1=0，则3a1＜12．
由题设知f′n（x）=x2-（3an+n2）x+3n2an=（x-3an）（x-n2）．
令f′n（x）=0，得x1=3an，x2=n2．
若3an＜n2，则
当x＜3an时，f′n（x）＞0，fn（x）单调递增；
当3an＜x＜n2时，f′n（x）＜0，fn（x）单调递减；
当x＞n2时，f′n（x）＞0，fn（x）单调递增．
故fn（x）在x=n2取得极小值．
所以a2=12=1
因为3a2=3＜22，则，a3=22=4
因为3a3=12＞33，则a4=3a3=3×4，
又因为3a4=36＞42，则a5=3a4=32×4，
由此猜测：当n≥3时，an=4×3n-3．
下面先用数学归纳法证明：当n≥3时，3an＞n2．
事实上，当n=3时，由前面的讨论知结论成立．
假设当n=k（k≥3）时，3ak＞k2成立，则由（2）知，ak+1=3ak＞k2，
从而3ak+1-（k+1）2＞3k2-（k+1）2=2k（k-2）+2k-1＞0，
所以3ak+1＞（k+1）2．
故当n≥3时，3an＞n2成立．
于是，当n≥3时，an+1=3an，而a3=4，因此an=4×3n-3．
综上所述，当a=0时，a1=0，a2=1，an=4×3n-3（n≥3）．解析分析：通过a=0，推出a1=0，则3a1＜12．由f′n（x）=x2-（3an+n2）x+3n2an=（x-3an）（x-n2）=0，求出x1=3an，x2=n2．由函数的单调性知fn（x）在x=n2取得极小值．求出a2=1，a3=4，a4=3×4，考查规律，由此猜测：当n≥3时，an=4×3n-3．然后用数学归纳法证明：当n≥3时，3an＞n2．点评：本题是中档题，考查数列的求法，注意到函数的导数与极小值的关系，注意数列的规律，数学归纳法的应用，考查计算能力，转化思想．

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