若f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数，且对一切x，y>0，满足f(x/y)=f(x)-f(y).若f(6)=1,解不等式

若f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数，且对一切x，y>0，满足f(x/y)=f(x)-f(y).若f(6)=1,解不等式f(x+3)-f(1/3)<2

∵对一切x，y>0；有f(x/y)=f(x)-f(y).
∴f(6)=f(6/1)=f(6)-f(1)
∴f(1)=0
∴f(1/3)=f(1)-f(3)= 0-f(3)= -f(3)
又∵f(x)是定义在(0,+∞)
∴x+3>0 即 x>-3
∵f(x+3)-f(1/3)=f(x+3)-[-f(3)]=f(x+3)+f(3) < 2=1+1=f(6)+f(6)
移项得：f(x+3)-f(6)<f(6)-f(3)
即：f[(x+3)/6]<f(6/3)
又∵f(x)是在(0,+∞)上是增函数
∴(x+3)/6<6/3
即：x<9
综上 -3<x<9

解：对于x>0满足f(x/y)=f(x)-f(y),f(6)=1, 则f(36/6)+f(6)=f(36)=2, 不等式f(x+3)-f(1/x)<2 =f(36),即f[(x+3)/(1/x)]<f(36) 因为f(x)是定义在(0,+无穷大)上的增函数, 所以(x+3)x<36,得-9<x<4, 又x+3>0,1/x>0,所以0<x<4.

由对一切x，y>0，满足f(x/y)=f(x)-f(y). f(xy)=f(x)-f(1/y);f(x)=f(xy)-f(y)可得f(1/y)=-f(y). f(x+3)+f(3)=f(x+3)-f(1/3)<2 .可得f(12)=f(6)-f(1/2)和f(3)=f(6)-f(2) 故f(12)+f(3)=f(6)-f(1/2)+f(6)-f(2)=2*f(6)=2 又f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数 所以易得0<x<9