如何证明5n^2+3n+7为奇数

如何证明5n^2+3n+7为奇数

S = 5n² + 3n + 7
= 5n² + 3n - 2 + 9
= (5n+1)(n-2) + 9
如果 n 是奇数，设 n = 2k+1，那么上式：
S = (10k + 6)(2k+1-2) + 9
= 2(5k+3)(2k-1) + 9
前面一项肯定是偶数，加上 9 以后则 S 肯定是奇数
如果 n 是偶数，设 n = 2k。那么上式：
S = (10k+1)(2k-2) + 9
=2(10k+1)(k-1) + 9
前面一项肯定是偶数，加上 9 以后 S 肯定是奇数
所以得证。

整数里只有奇数与偶数。若n为奇数，则 n^2也是奇数（奇数乘以奇数等于奇数）5n^2是奇数，3n是奇数，所以奇数个奇数 5n^2、3n、7相加 是奇数；
若n为偶数，设n=2m(m是自然数) 5n^2+3n+7=5*4m^2+3*2m+7=20m^2+6m+7=偶数+偶数+奇数=奇数 （20m^2∈偶数、6m∈偶数、7是奇数）
所以，无论n是奇数或偶数， 5n^2+3n+7 都是奇数。