设 a b c d 为整数,a>b>c>d>0,且,ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c).证明 ab+cd

设 a b c d 为整数,a>b>c>d>0,且,ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c).证明 ab+cd 不是质数

①假设ab+cd是质数,我们将证明此会导
致矛顿.我们可将ab+cd表示为为ab + cd =(a+d)c+(b-c)a=m *(a+d ,b-c)其中m为一正整数.因假设ab+cd是质数,所以m=1或(a+d,b-c)=1
情况一：考虑m=1 ,则（a+d,b-c)=ab+cd>ab+cd-(a-b+d+c)=(a+d)(c-1)+(b-c)(a+1)≥（a+d,b-c）矛盾!
情况二：
考虑(a+d,b-c,a-c)=1因为ac+bd=(a+d)b-(b-c)a (2)
所以(a+d)b-(b-c)a=(b+d+a-c)(b+d-a+c) 因而可得
(a+d)(a-c-d)=(b-c)(b+c+d)从此可知,存在一个正整数k使得a-c-d=k(b-c),b+c+d=k(a+d)将这两式相加可得:a+b=k(a+b-c+d),
而k(c-d)=(k-1)(a+b)若k=1 ,则c=d ,此与a>b>c>d 矛盾!若k≥2,则2≥k/(k-1)=(a+b)/(c-d)>2这显然也不可能.所以由情况一、二可知ab+cd不是质数.
②假设p=ab+cd是素数,ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c)=(b+d)^2-(a-c)^2,得a^2-ac+c^2=b^2+bd+d^2,将a=(p-cd)/b代入上式,化简得p(p-2cd-bc)=(b^2-c^2)(b^2+bd+d^2),因为p=ab+cd>ab>b^2>b^2-c^2>0,p是素数得（p,b^2-c^2)=1,得p|b^2+bd+d^2,又2p>2(b^2+d^2)>(b+d)^2>b^2+bd+d^2,这说明p=b^2+bd+d^2,于是ab+cd=b^2+bd+d^2,即b(a-b)=d(b+d-c),由于b>c>d,所以b>c-d>0,这样（b,d）>1,意味着（b,d）|p,p不是素数,矛盾
③因为(ab+cd)-(ac+bd)=(a-d)(b-c)＞0,所以(ab+cd)＞(ac+bd)；又因为(ac+bd)-(ad+bc)=(a-b)(c-d)＞0,所以ab+cd＞ac+bd＞ad+bc.
由于ac+bd=(a+b-c+d)(-a+b+c+d),所以a^2-ac+c^2=b^2+bd+d^2.
因此(ac+bd)(b^2+bd+d^2)=ac(b^2+bd+d^2)+bd(a^2-ac+c^2)=acb^2+acd^2+a^2bd+bc^2d
=(ab+cd)(ad+bc),所以(ac+bd)可以被(ab+cd)(ad+bc)整除.
假设ab+cd是一个素数,由于ab+cd＞ac+bd＞1,所以(ab+cd)与(ac+bd)互素,因此(ac+bd)可以被(ad+bc)整除,与ac+bd＞ad+bc矛盾.所以ab+cd是一个合数.