用拉格朗日定理证明
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解决时间 2021-12-25 02:38
- 提问者网友：凉末
- 2021-12-24 01:50
最佳答案
- 五星知识达人网友：北方的南先生
- 2021-12-24 03:08
（1）令f(t)=lnt，其中t∈[1,1+x]
根据拉格朗日中值定理，存在k∈(1,1+x)，使得：f'(k)=[f(1+x)-f(1)]/(1+x-1)
1/k=[ln(1+x)]/x
ln(1+x)=x/k
因为x/(1+x)<x/k<x/1
所以x/(1+x)<ln(1+x)<x
（2）令f(t)=arctant，其中t∈[0,h]
根据拉格朗日中值定理，存在k∈(0,h)，使得：f'(k)=[f(h)-f(0)]/(h-0)
1/(1+k^2)=(arctanh)/h
arctanh=h/(1+k^2)
因为h/(1+h^2)<h/(1+k^2)<h/(1+0^2)
所以h/(1+h^2)<arctanh<h
根据拉格朗日中值定理，存在k∈(1,1+x)，使得：f'(k)=[f(1+x)-f(1)]/(1+x-1)
1/k=[ln(1+x)]/x
ln(1+x)=x/k
因为x/(1+x)<x/k<x/1
所以x/(1+x)<ln(1+x)<x
（2）令f(t)=arctant，其中t∈[0,h]
根据拉格朗日中值定理，存在k∈(0,h)，使得：f'(k)=[f(h)-f(0)]/(h-0)
1/(1+k^2)=(arctanh)/h
arctanh=h/(1+k^2)
因为h/(1+h^2)<h/(1+k^2)<h/(1+0^2)
所以h/(1+h^2)<arctanh<h
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