a+b+c是6的倍数,试求最大的正整数m使得m|a^3+b^3+c^3对任何正整数a,b,c成立
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解决时间 2021-11-27 15:23
- 提问者网友：我一贱你就笑
- 2021-11-26 22:55
a+b+c是6的倍数,试求最大的正整数m使得m|a^3+b^3+c^3对任何正整数a,b,c成立
最佳答案
- 五星知识达人网友：北城痞子
- 2021-11-27 00:16
取a=2, b=2, c=2得m|24.
取a=1, b=1, c=4得m|66.
最大公约数(24,66)=6, 于是m|6, 有m≤6.
下面证明6|a³+b³+c³ 对任意满足6|a+b+c的a, b, c成立.
由a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca), 有6|a³+b³+c³-3abc.
又由2|a+b+c, a, b, c至少有一个偶数, 所以2|abc, 6|3abc.
所以6|a³+b³+c³.
于是m=6为满足条件的最大的正整数.
取a=1, b=1, c=4得m|66.
最大公约数(24,66)=6, 于是m|6, 有m≤6.
下面证明6|a³+b³+c³ 对任意满足6|a+b+c的a, b, c成立.
由a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca), 有6|a³+b³+c³-3abc.
又由2|a+b+c, a, b, c至少有一个偶数, 所以2|abc, 6|3abc.
所以6|a³+b³+c³.
于是m=6为满足条件的最大的正整数.
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