全国初中竞赛题:关于x,y的方程x^2+y^2=208(x-y)的所有正整数解为?

全国初中竞赛题:关于x,y的方程x^2+y^2=208(x-y)的所有正整数解为?

易知X>Y 假设X=2K+1,则X^2为奇数,而208（X-Y）为偶数,所以Y为奇数,记Y=2T+1 有 2（2K^2+2K+2T^2+2T+1)=208*2(K-T) （2K^2+2K+2T^2+2T+1)为奇数,208*2(K-T)/2为偶数,矛盾 所以X、Y都是偶数 那么假设 X=2^N*MA,Y=2^N*MB,(A、B互质,A>B,M为奇数） 有 2^2N*M^2*(A^2+B^2)=208*2^N*M(A-B)=2^(N+4)*13M(A-B) 假设A-B=C*2^P,(P为0或自然数,C为奇数）易知B、C互质 有 2^2N*M^2*(2B^2+2BC*2^P+C^2*2^2P)=2^(N+4)*13MC*2^P P=0时 M^2*(2B^2+2BC+C^2)和13MC为奇数,所以 2^2N=2^(N+4),N=4 此时 M*(2B^2+2BC+C^2)=13C 由于13为质数,所以M为13或1 M=13时 C=2B^2+2BC+C^2>=C^2,1>=C矛盾 所以M=1 0=2B^2+2BC+C^2-13C B=(-C±(26C-C^2）^(1/2))/2 由于B为整数,所以(26C-C^2）^(1/2)为完全平方数 记D^2=26C-C^2 当C有大于2的质因数Q时,D整除Q,则B也整除Q,B、C不互质,矛盾,所以C为1,B=2或B=-3,由于B>0,所以B=2带回X、Y得到 X=48,Y=32 P≠0时 2^（2N+1）*M^2*(B^2+BC*2^P+C^2*2^（2P-1）)=2^(N+4+P)*13MC B为奇数时,同样有 N=3+P B^2+BC*2^P+C^2*2^（2P-1）=13C 同样判断出C=1 即 B^2+B*2^P+2^（2P-1）=13,有13>2^(2P-1),3>P 将P=1、2分别带入知仅当P=2时,B为整数,B=-5或B=1,由于B>0,所以排除B=-5,将B=1带回X、Y知 X=160,Y=32 P≠0,B为偶数时,则A可以整除2,与假设的A、B互质矛盾,所以B不是偶数 综上有 X=48,Y=32 X=160,Y=32

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