一乘五分之一加五乘九分之一加九乘十三分之一加……二零零五乘二零零九分之一等于

一乘五分之一加五乘九分之一加九乘十三分之一加……二零零五乘二零零九分之一等于

1/(1×5) +1/(5×9) +1/(9×13)+……+1/(2005×2009)
=1/4×[ 4/(1×5) +4/(5×9) +4/(9×13)+……+4/(2005×2009) ]
=1/4×[ (1-1/5)+(1/5-1/9)+(1/9-1/13)+……+(1/2005-1/2009) ]
=1/4×( 1-1/5 +1/5-1/9 +1/9 -1/13 +……+1/2005-1/2009 )
=1/4×( 1 -1/2009 )
=1/4× 2008/2009
=502/2009

1*2005/2+2*2005/3+3*2005/4+……+2002*2005/2003+2003*2005/2004 =2005*(1/2+2/3+3/4+4/5+……+2002/2003+2003/2004) =2005*[(1-1/2)+(1-1/3)+(1-1/4)+……+(1-1/2003)+(1-1/2004)] =2005*[2004-(1/2+1/3+1/4+……+1/2003+1/2004)] ≈2005*(2004-0.577) =4016863.115 0.577为近似的欧拉常数