已知平面ADE垂直于平面ABCD,三角形ADE是边长为a的等边三角形,ABCD是矩形,F是AB中点,

已知平面ADE垂直于平面ABCD,三角形ADE是边长为a的等边三角形,ABCD是矩形,F是AB中点,

（1）过E作EG⊥AD交AD于G,连结CG.　　　由面ADE⊥面ABCD,EG⊥AD,得：EG⊥面ABCD,进而得：EG⊥CG.　　　由等边三角形EAD,EG⊥AD,得：EG＝√3EA/2,而EA＝a,所以：EG=√3a/2.　　　在Rt△ECG中,∠ECG＝30°,得：EC＝2EG＝√3a,　　　进而得：CG＝√（EC^2－EG^2)＝√（3a^2－3a^2/4）＝3a/2.　　　由矩形ABCD得：CD⊥DG,容易求出DG＝a/2,所以：　　　CD＝√（CG^2－DG^2）＝√（9a^2/4－a^2/4）＝√2a.可见ABCD的面积＝AD×CD＝a×√2a＝√2a^2.　　　因为F是AB的中点,所以△BCF的面积＝△ABC的面积/2＝ABCD的面积/4,　　　得AFCD的面积＝（3/4）ABCD的面积＝3√2a^2/8,　　　于是：E－AFCD的体积＝AFCD的面积×EG/3＝（3√2a^2/8）×（√3a/2）/3＝√6a^3/2.（2）由BF＝CD/2＝√2a/2,得：CF＝√（BF^2＋BC^2）＝√（a^2/2＋a^2）＝√3a/√2.　　　由面EAD⊥面ABCD,矩形ABCD,得：AB⊥EA,　　　进而得：EF＝√（EA^2＋AF^2）＝√（a^2＋a^2/2）＝√3a/√2.容易验证：EF^2＋FC^2＝EC^2,可见：EF⊥FC,　　　得：△EFC的面积＝EF^2/2＝3a^2/4.　　　设点D到面EFC的距离为h,则：△EFC的面积×h/3＝E－AFCD的体积＝√6a^3/2,　　　即：（3a^2/4）×h/3＝√6a^3/2,于是：h＝2√6a.

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