小球从四分之一圆弧下滑需要的时间

小球从四分之一圆弧下滑需要的时间

AB段，时间T1＝根号下2h/g，如果AB很长，可以用单摆，如果和R差不多，用微积分 从B到C，用积分办法求时间，设B到C的时间为T2，
由BC=0.5πR知，BC是一段四分之一圆弧，圆心与B等高。从B到圆弧上一点D，从圆心向圆弧张开的圆心角为θ，在D点速度为V
由机械能守恒得　mg(h+R*sinθ)＝mV^2 / 2　，得　V＝根号 [ 2 g(h+R*sinθ) ]
从B到C所用时间　T2＝定积分（R dθ / V）＝定积分｛R dθ / 根号 [ 2 g(h+R*sinθ) ]｝，θ是从0积到0.5π
得　T2后，所求总时间是　T＝T1＋T2

肯定是可积的。
式子用极坐标转换一下应该方便些。

其他更多的不知道了，不是学霸而且毕业快10年了。

可以列出方程：加速度a=gcos(s)   注：因为滑动距离s与角度seita相同
s的二次微分是a，因此可得出一个关于s的微分方程，这个微分方程没有解析解，或者说解不出来，只有近似解，因为图片上传比较慢，我待会再试一下，把近似解给你传一下

准确来说需要解决的数学问题为：
微分方程：
y''-gcosy=0
边值条件：
y(0)=0
y'(0)=0
且需满足0<=y<=pai/2

设小球运动过程到与水平轴成角度为x的位置，沿速度方向的力为重力的分量：mgcos(x),该力提供切向加速度：
mgcos(x)=m(dv/dt),
由机械能守恒，这时的动能mv^2/2应该等于重力势能的变化mgRsin(x),
所以我们有sin(x)=v^2/(2gR),即cos(x)=sqrt[1-sin(x)^2]=sqrt[1-v^4/(4g^2R^2)]
将cos(x)代入mgcos(x)=m(dv/dt)得到微分方程：
g*sqrt[1-v^4/(4g^2R^2)]=dv/dt,
或者写成dv/[g*sqrt[1-v^4/(4g^2R^2)]]=dt
两边积分，v从初速度零积到末速度sqrt(2gR),得
T=1/[g*sqrt[1-v^4/(4g^2R^2)]]关于v的积分，
设y=v^2/(2gR), dv=sqrt(gR/2)*dy/sqrt(y), 所以
T=sqrt[R/(2g)]*函数1/[sqrt(y)*sqrt(1-y^2)]关于y从0到1的积分
T=sqrt[R/(2g)]*(1/2)*Beta(1/4, 1/2)=1.854*sqrt(R/g)