椭圆X平方/a平方+Y平方/b平方=1（a>b>0）......

椭圆X平方/a平方 +Y平方/b平方 =1（a>b>0）的右焦点为F，离心率e=0.5 ，过F作直线L，交椭圆于A,B两点，P为线段AB的中点，O为坐标原点，当三角形PFO的面积的最大值为（根号3）/8时，求椭圆的方程和直线的方程。

看我的，首先分析已知条件，离心率e=0.5,则a=2c，
三角形PFO的面积可用0.5*OF*P点纵坐标的绝对值来表示
下一步求P点纵坐标的绝对值
写出P的轨迹方程
设P（x0,y0)A(x1,y1)B(x2,y2)则
x1^2/a^2+y1^2/b^2=1; (1)
x2^2/a^2+y2^2/b^2=1; (2)
用（1）-（2），整理得[（y1-y2)/(x1-x2)]/b^2+[(x1+x2)/(y1+y2)]/a^2=0
（y1-y2)/(x1-x2)是直线AB的斜率，
它可用PF来表示（ABPF四点共线）=y0/(x0-c) ;
（x1+x2)/(y1+y2)=2x0/2y0=x0/y0;
代入得[（y0/(x0-c)]/b^2+(x0/y0 )/a^2=0
整理得P的轨迹方程：y0^2=b^2*[x0(c-x0)]/a^2；则y0的绝对值=(b/a)*根号[x0(c-x0)]<= (b/a)*c*0.5，取等号时x0=0.5*c,在x0的定义域内。
此时P点坐标（c/2,bc/2a)
三角形PFO的面积的最大值=0.5*c*(b/a)*c*0.5=（根号3）/8,
最后根据上式和已知的离心率求出a=2，b=根号3
椭圆方程为x^2/4+y^2/3=1;
直线方程根据PF两点坐标写出P：（0.5，根号3/4)F:(1,0)
直线方程为y=0.5*根号3*(1-x),

OK

好难 是不是出错了

第一问：由圆x方+y方=b方且与直线x-y+2=0相切，可解得b=根号2，由离心率c/a=三分之根号三得a方=3乘以c方，又由公式c方=a方-b方得，c方=3乘以c方-2，所以c方=1，a方=3，a=根号3，所以椭圆方程为x方/3+y方/2=1,。 第二问：证明：由题知a(-√3,0)，b=(√3,0),设p(x,y),则k1=y/x+√3,k2=y/x-√3,所以k1k2=y方/x方-3，又因p在椭圆上，所以x方/3+x方/2=1，所以y方=2（1-x方/3），带入得，k1k2=2（1-x方/3）/(x方-3)=2/3(3-x方)/(x方-3)=-2/3为定值