已知向量a=（2cos（-θ），2sin（-θ）），b=（cos（90°-θ），sin（90°-θ））（1）求证：a⊥b；（2）

已知向量

a =（2cos（-θ），2sin（-θ）），

b =（cos（90°-θ），sin（90°-θ））
（1）求证：

a ⊥

b ；
（2）若存在不等于0的实数k和t，使

x =

a +（t2-3）

b ，

y =-k

a +t

b 满足

x ⊥

y ．试求此时
k+t2
t 的最小值．

（1）∵

a ?

b =2cos（-θ）cos（90°-θ）+2sin（-θ）sin（90°-θ）=2cosθsinθ-2sinθcosθ=0，
∴

a ⊥

b ．
（2）

a 2=4cos2θ+4sin2θ=4，

b 2＝sin2θ+cos2θ=1，
∵

x ⊥

y ，
∴

x ?

y =[

a +（t2-3）

b ]?（-k

a +t

b ）=?k

a 2+t(t2?3)

b 2+[t?k(t2?3)]

a ?

b
=-4k+t（t2-3）=0，（k≠0，t≠0）．
∴
k
t ＝
t2?3
4 ，
∴
k+t2
t =
t2?3
4 +t=
1
4 (t?2)2?
7
4 ≥?
7
4 ．

解：1. a={2cos(-θ)，2sin(-θ)}={2cosθ，-2sinθ} b={cos(∏/2-θ)，sin(∏/2-θ)}={sinθ，cosθ} 2cosθsinθ+(-2sinθ)cosθ=0，所以a垂直b。 2. x=a+(t^2-3)b={[2cosθ+(t^2-3)sinθ]，[-2sinθ+(t^2-3)cosθ]} y=-ka+tb={(-2kcosθ+tsinθ)，(2ksinθ+tcosθ)} x垂直y，有： [2cosθ+(t^2-3)sinθ](-2kcosθ+tsinθ)+[-2sinθ+(t^2-3)cosθ](2ksinθ+tcosθ)=0 展开化简得：[t(t^2-3)-4k][(cosθ)^2+(sinθ)^2]=0 而(cosθ)^2+(sinθ)^2=1，因此： t(t^2-3)-4k=0，即：k=t(t^2-3)/4 则：(k+t^2)/t=[t(t^2-3)/4+t^2]/t=(t^2-3)/4+t=[(t+2)^2-7]/4 上式有最小值，要求(t+2)^2=0，t=-2 此时(k+t^2)/t=[(t+2)^2-7]/4的最小值为-7/4。