计算二重积分∫∫ ln(x^2+y^2)dσ, 其中D:4≤x^2+y^2≤9

计算二重积分∫∫ ln(x^2+y^2)dσ, 其中D:4≤x^2+y^2≤9

用极坐标变换即可。

方法1： 积分域是： x^2+y^2≤2y x^2+y^2-2y≤0 x^2+(y-1)^2≤1 积分是在上述圆的范围内进行。 令x=pcos(θ),y=psin(θ),此圆的方程可写为： [pcos(θ)]^2+[psin(θ)-1]^2=1 p^2-2psin(θ)+1=1 p(p-2sin(θ)=0 解得：p=0和p=2sin(θ) 显然p=2sin(θ)是此圆的极坐标方程。 对任一个给定的p,可求出此圆上对应的θ: θ=arcsin(p/2) 利用积分函数的对称性（对y轴对称），θ的积分范围可定为[arcsin(θ),pai/2],p的范围是从0到2。将积分结果乘2，即得最后结果。 此处，pai代表圆周率。 解法2： 令x=x,y=y-1对积分域进行坐标平移，得： x^2+y^2≤1 将积分式中的x,y也用x，y代换，得： ∫∫(x^2+（y+1）^2)dσ 再令x=pcos(θ),y=psin(θ),代入上面的积分后，p的积分范围是：[0，1]，θ的积分范围是：[0，2pai]